Equazione differenziale
salve,
data la funzione differenziale:
$y''-y=x^2sen2x$
vorrei il vostro aiuto.
Parte omogenea:
$k^2-1=0 Delta>0$ e trovo i due valori $k_1 k_2$ che sono $1$ e $-1$
Parte non omogenea:
$k^2-1=x^2sen(2x)$
Per quanto riguarda il polinomio $x^2$ manterrà lo stesso grado poichè il valore $c$ del membro a sinistra $!=0$, $c$ è $-1$
per cui l'equazione caratteristica del polinomio sarà di secondo grado, $q(x)_1=Ax^2+Bx+C$
Per quanto riguarda la parte trigonometrica, essa non ha risonanza perchè $sen(2x)$, in formula $sen(betax)$ dove $beta=2$ non corrisponde a nessun valore delle soluzioni $k_1$, $k_2$ (questo è in parte sbagliato, poichè $beta$ citato per avere risonanza deve essere esclusivamente uguale a $beta_1$ che avremmo ottenuto in caso in cui il $Delta<0$)
Per cui, l'equazione caratteristica della parte trigonometrica equivale a $q(x)_2=Asen(2x)+Bcos(2x)$ dove $A$ e $B$ in questo caso vengono sostituiti dall'equazione caratteristica del Polinomio $x^2$.
Quindi, equazione caratteristica della parte non omogenea in generale è $q(x)=(Ax^2+Bx+C)sen(2x)+(Dx^2+Ex+F)cos(2x)$. Ovviamente, partire con la premessa che $A B C D E F$ siano diversi l'uno dall'altro.
A questo punto trovo la derivata prima e seconda di $q(x)$, che poi verranno sostituite all'equazione di secondo grado, per trovare i valori $A B C D E F$. Fin qui è giusto?
data la funzione differenziale:
$y''-y=x^2sen2x$
vorrei il vostro aiuto.
Parte omogenea:
$k^2-1=0 Delta>0$ e trovo i due valori $k_1 k_2$ che sono $1$ e $-1$
Parte non omogenea:
$k^2-1=x^2sen(2x)$
Per quanto riguarda il polinomio $x^2$ manterrà lo stesso grado poichè il valore $c$ del membro a sinistra $!=0$, $c$ è $-1$
per cui l'equazione caratteristica del polinomio sarà di secondo grado, $q(x)_1=Ax^2+Bx+C$
Per quanto riguarda la parte trigonometrica, essa non ha risonanza perchè $sen(2x)$, in formula $sen(betax)$ dove $beta=2$ non corrisponde a nessun valore delle soluzioni $k_1$, $k_2$ (questo è in parte sbagliato, poichè $beta$ citato per avere risonanza deve essere esclusivamente uguale a $beta_1$ che avremmo ottenuto in caso in cui il $Delta<0$)
Per cui, l'equazione caratteristica della parte trigonometrica equivale a $q(x)_2=Asen(2x)+Bcos(2x)$ dove $A$ e $B$ in questo caso vengono sostituiti dall'equazione caratteristica del Polinomio $x^2$.
Quindi, equazione caratteristica della parte non omogenea in generale è $q(x)=(Ax^2+Bx+C)sen(2x)+(Dx^2+Ex+F)cos(2x)$. Ovviamente, partire con la premessa che $A B C D E F$ siano diversi l'uno dall'altro.
A questo punto trovo la derivata prima e seconda di $q(x)$, che poi verranno sostituite all'equazione di secondo grado, per trovare i valori $A B C D E F$. Fin qui è giusto?
Risposte
più che aiuto, vorrei capire se è giusto.
Buon Pomeriggio,
Ho letto il tuo post e ho controllato:
Ti trovi nella situazione delle soluzioni particolari del tipo: $f(x)=e^(lambda x)[p_m(x) cos mu x+r_k(x)sin mu x]$
Dove $p_m(x)$ e $r_k(x)$ sono dei polinomi in x di un certo grado. Questi verranno poi adeguati per avere il grado in comune nella soluzione particolare.
Applicando tale soluzione al tuo $\bar y(x)$ avremo che:
$\bar y(x)=e^0[(ax^2+bx+c)cos (2x) + (dx^2+ex+d)sin(2x)] = (ax^2+bx+c)cos (2x) + (dx^2+ex+d)sin(2x).$
Che e' proprio la tua soluzione particolare.
Successivamente dovrai derivarlo Due volte (siccome la tua equazione differenziale e' di 2* grado)e, facendo attenzione ai segni, dovrai sostituirla proprio nella tua differenziale di partenza.
$y^('')-y=f(x) rarr \bar y^('')-\bar y=f(x)$
Una volta fatto cio' dovrai risolvere il sistema relativo alle sei variabili che hai sopra accennato per poi sostituirle, una volta trovati i valori, in $\bar y(x)$.
Finito anche questo passo, avrai tutti gli elementi per scrivere in definitiva il tuo integrale generale:
$y(x)=y_o(x)+\bar y(x)$
Tutto questo per dire che, a mio avviso, fin qui tutto giusto
Ho letto il tuo post e ho controllato:
Ti trovi nella situazione delle soluzioni particolari del tipo: $f(x)=e^(lambda x)[p_m(x) cos mu x+r_k(x)sin mu x]$
Dove $p_m(x)$ e $r_k(x)$ sono dei polinomi in x di un certo grado. Questi verranno poi adeguati per avere il grado in comune nella soluzione particolare.
Applicando tale soluzione al tuo $\bar y(x)$ avremo che:
$\bar y(x)=e^0[(ax^2+bx+c)cos (2x) + (dx^2+ex+d)sin(2x)] = (ax^2+bx+c)cos (2x) + (dx^2+ex+d)sin(2x).$
Che e' proprio la tua soluzione particolare.
Successivamente dovrai derivarlo Due volte (siccome la tua equazione differenziale e' di 2* grado)e, facendo attenzione ai segni, dovrai sostituirla proprio nella tua differenziale di partenza.
$y^('')-y=f(x) rarr \bar y^('')-\bar y=f(x)$
Una volta fatto cio' dovrai risolvere il sistema relativo alle sei variabili che hai sopra accennato per poi sostituirle, una volta trovati i valori, in $\bar y(x)$.
Finito anche questo passo, avrai tutti gli elementi per scrivere in definitiva il tuo integrale generale:
$y(x)=y_o(x)+\bar y(x)$
Tutto questo per dire che, a mio avviso, fin qui tutto giusto
"Marcomix":
Fin qui è giusto?
Si dovrebbe essere tutto corretto.
Benissimo! quindi adesso si tratta di non sbagliare i conti!
Ah, una domanda, adesso mi sfugge la teoria, nel post di PandaZero è citato quel $e^(lambdax)$, $lambda$ che valore prende in generale?
Prende il valore che è definito nell'equazione stessa 
Insomma, è l'esponente della $e$
Insomma, è l'esponente della $e$
La soluzione suggerita da PandaZero è quella standard che si applica quando il termine noto dell'equazione è in "forma comoda", ossia nella forma:
[tex]$e^{\alpha x}\ [p(x)\ \cos \beta x +q(x)\ \sin \beta x]$[/tex],
con [tex]$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p(x),\ q(x)$[/tex] polinomi.
In tal caso per trovare una soluzione particolare dell'equazione completa conviene distinguere i due casi:
1. Il numero complesso individuato dal termine noto [tex]$\alpha +\beta \ \imath$[/tex] non è soluzione dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea: allora la soluzione particolare è del tipo:
[tex]$\bar{y}(x)=e^{\alpha x}\ [P(x)\ \cos \beta x +Q(x)\ \sin \beta x]$[/tex],
in cui [tex]$P(x)$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado uguale al massimo tra i gradi di [tex]$p(x)$[/tex] e [tex]$q(x)$[/tex];
2. Il numero complesso individuato dal termine noto [tex]$\alpha +\beta \ \imath$[/tex] è soluzione dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea: allora la soluzione particolare è del tipo:
[tex]$\bar{y}(x)=e^{\alpha x}\ x^m\ [P(x)\ \cos \beta x +Q(x)\ \sin \beta x]$[/tex]
in cui [tex]$P(x)$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado uguale al massimo tra i gradi di [tex]$p(x)$[/tex] e [tex]$q(x)$[/tex] ed [tex]$m$[/tex] è la molteplicità di [tex]$\alpha +\beta \ \imath$[/tex] quale radice del polinomio caratteristico.
Una volta stabilito ciò, il problema di determinare la soluzione particolare diventa il problema di determinare i coefficienti dei polinomi incogniti [tex]$P(x)$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex]: ciò si fa scrivendo esplicitamente [tex]$P(x)=a_0+a_1\ x+\ldots +a_n\ x^n$[/tex] e [tex]$Q(x) =b_0+b_1\ x+\ldots +b_n\ x^n$[/tex] dentro l'espressione di [tex]$\bar{y} (x)$[/tex], derivando e sostituendo dentro l'equazione completa; fatto questo, l'indipendenza delle funzioni [tex]$e^{\alpha x} \cos \beta x$[/tex] ed [tex]$e^{\alpha x}\ \sin \beta x$[/tex] ed il principio d'identità dei polinomi ti consentono di determinare un sistema di [tex]$2(n+1)$[/tex] equazioni nelle [tex]$2(n+1)$[/tex] incognite [tex]$a_0,\ldots ,a_n,b_0\ldots ,b_n$[/tex] che ha sempre qualche soluzione; trovata tale soluzione, hai determinato i coefficienti che ti servivano e sei a posto.
[tex]$e^{\alpha x}\ [p(x)\ \cos \beta x +q(x)\ \sin \beta x]$[/tex],
con [tex]$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p(x),\ q(x)$[/tex] polinomi.
In tal caso per trovare una soluzione particolare dell'equazione completa conviene distinguere i due casi:
1. Il numero complesso individuato dal termine noto [tex]$\alpha +\beta \ \imath$[/tex] non è soluzione dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea: allora la soluzione particolare è del tipo:
[tex]$\bar{y}(x)=e^{\alpha x}\ [P(x)\ \cos \beta x +Q(x)\ \sin \beta x]$[/tex],
in cui [tex]$P(x)$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado uguale al massimo tra i gradi di [tex]$p(x)$[/tex] e [tex]$q(x)$[/tex];
2. Il numero complesso individuato dal termine noto [tex]$\alpha +\beta \ \imath$[/tex] è soluzione dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea: allora la soluzione particolare è del tipo:
[tex]$\bar{y}(x)=e^{\alpha x}\ x^m\ [P(x)\ \cos \beta x +Q(x)\ \sin \beta x]$[/tex]
in cui [tex]$P(x)$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado uguale al massimo tra i gradi di [tex]$p(x)$[/tex] e [tex]$q(x)$[/tex] ed [tex]$m$[/tex] è la molteplicità di [tex]$\alpha +\beta \ \imath$[/tex] quale radice del polinomio caratteristico.
Una volta stabilito ciò, il problema di determinare la soluzione particolare diventa il problema di determinare i coefficienti dei polinomi incogniti [tex]$P(x)$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex]: ciò si fa scrivendo esplicitamente [tex]$P(x)=a_0+a_1\ x+\ldots +a_n\ x^n$[/tex] e [tex]$Q(x) =b_0+b_1\ x+\ldots +b_n\ x^n$[/tex] dentro l'espressione di [tex]$\bar{y} (x)$[/tex], derivando e sostituendo dentro l'equazione completa; fatto questo, l'indipendenza delle funzioni [tex]$e^{\alpha x} \cos \beta x$[/tex] ed [tex]$e^{\alpha x}\ \sin \beta x$[/tex] ed il principio d'identità dei polinomi ti consentono di determinare un sistema di [tex]$2(n+1)$[/tex] equazioni nelle [tex]$2(n+1)$[/tex] incognite [tex]$a_0,\ldots ,a_n,b_0\ldots ,b_n$[/tex] che ha sempre qualche soluzione; trovata tale soluzione, hai determinato i coefficienti che ti servivano e sei a posto.
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