Equazione differenziale!

[sarawest]

Sto risolvendo un problema di Cauchy...
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta

$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $

= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))

C'è qualche errore?
grazie mille!!!

[~Mihaela~13]

"sarawest":Sto risolvendo un problema di Cauchy...
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta

$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $

= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))

C'è qualche errore?
GRAZIE MILLEE!!!

ciao
potresti controllare se hai scritto quello che volevi?? magari hai ricopiato male qualcosa... non riesco a capire da dove saltano fuori quei passaggi...
io intanto ho preso l'integrale definito tra $x$ e $-1$, trovandone la primitva
e dopo ho calcolato la suddetta primitva negli estremi di integrazione...

[mazzy89-votailprof]

"sarawest":Sto risolvendo un problema di Cauchy...
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta

$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $

= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))

C'è qualche errore?
GRAZIE MILLEE!!!

piccolo suggerimento: non scrivere a stampatello nei forum.

stampatello=urlare

correggilo prima che i moderatori te lo facciano notare!

[sarawest]

scusate non volevo urlare

I passaggi sono quelli scritti
ho integrato per parti.......
questa è la funzione

$y(x)= -x* int_(x)^(-1) t*log(1-t) dt $

ora integro per parti

$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $

sino qui dovrebbe essere corretto....anche se non sono sicurissima

[sarawest]

questa è la funzione

$y(x)= -x* int_(x)^(-1) t*log(1-t) dt $

ora integro per parti

$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $

sino qui dovrebbe essere corretto....anche se non sono sicurissima[/quote]

sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$

di questo sono meno convinta

[~Mihaela~13]

[OT]eh già... quoto mazzy89
no al maiuscolo (soprattutto nell'<>!! )[/OT]

e poi vado ad avventurarmi nello svolgimento dell'integrale...
ammettendo che i passaggi attraverso cui hai ottenuto:

"sarawest":

$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $

siano corretti...

ti faccio vedere come ho fatto io...

vado a risolvere:
$ int t*log(1-t)dt $

inizio per parti e ottengo:
$ t^2/2*log(1-t) - int t^2/(2*(1-t))dt $

dopo di che il mio problema diventa l'integrale $ int t^2/(2*(1-t))dt $
di cui metto in evidenza $1/2$ e risolvo $int t^2/(1-t)dt $
etc... salto un pò di passaggi noiosi...

arrivo alla fine a calcolare:
$ [t^2log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|] $ tra $x$ e $-1$
ci ritroviamo??

[sarawest]

ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....

però il risultato nell'esercizio viene così
$(x/2)(x-1)^(2)* log (1-x) - (x)^(2)/2-(x)^(3)/4+x(x-1)*log(1-x)-(x)/4

[~Mihaela~13]

"sarawest":
sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$

maledizione, questa roba mi fa impazzire
scritto così quiasi non riconosco i passaggi
huh,... va bene... tutto sommato direi che le primitive vanno bene
però mi sembra che tu abbia invertito qualcosina
vedi se siamo d'accordo su questo:
$ int_(a)^(b) f'(x)dx = f(b) - f(a) $
(niente meno che il teorema fondamentale del calcolo integrale XD)

[sarawest]

"~Mihaela~":[quote="sarawest"]
sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$

maledizione, questa roba mi fa impazzire
scritto così quiasi non riconosco i passaggi
huh,... va bene... tutto sommato direi che le primitive vanno bene
però mi sembra che tu abbia invertito qualcosina
vedi se siamo d'accordo su questo:
$ int_(a)^(b) f'(x)dx = f(b) - f(a) $
(niente meno che il teorema fondamentale del calcolo integrale XD)[/quote]

si ....credo di averlo applicato....forse ho sbagliato l'integrazione per parti?

[~Mihaela~13]

"sarawest":ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....

anch'io ho diviso così x)

[~Mihaela~13]

"sarawest":
ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....

anch'io ho diviso così x)

[~Mihaela~13]

"sarawest":ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....

però il risultato nell'esercizio viene così
$(x/2)(x-1)^(2)* log (1-x) - (x)^(2)/2-(x)^(3)/4+x(x-1)*log(1-x)-(x)/4

uffi... allora devo aver sbagliato qualcosa -.-''

[~Mihaela~13]

mah... ci rinuncio... magari qualcuno più esperto vorrà illuminarci prima o poi...

[sarawest]

non sai quante volte ho provato a rifarla....ma nulla

[~Mihaela~13]

temo che non dormirò stanotte... questo integrale mi tortura...
comunque,... ci sarebbe un'altra cosa che vorrei mettere a fuoco:

"sarawest":

ora integro per parti

$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $

non sono d'accordo sullo scrivere l'integrale in questa forma... perchè in teoria dovresti fare
$int_(x)^(-1) (int (t)^2/(2*(1-t)) dt) dt $
cioè... quell'integrale fa parte della primitiva ancora da calcolare... non puoi subito "attribuirgli" quegli estremi... (credo)
uff... magari domani scrivo tutti i passaggi per far capire come ho svolto l'esercizio... così sarà più facile individuare il mio errore eventualmente

[~Mihaela~13]

ok,.. scherzavo... il commento di ieri sera fa pena -.-''

comunque...
$ y(x)=-x int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $

risolvo separatamente:
$ int t*log(1-t)dt $

per parti ottengo:
$ int t*log(1-t)dt = t^2/2*log(1-t) - 1/2 int t^2/(1-t) dt $

$ int t^2/(1-t) dt = int [-t-1+1/(1-t)]dt $

quindi
$ t^2/2*log(1-t) - 1/2 int t^2/(1-t) dt= $
$=1/2t^2*log(1-t) - 1/2 int -t dt - 1/2 int -dt -1/2 int 1/(1-t)dt=$
$=1/2t^2*log(1-t) + 1/2*t^2/2 + 1/2*t - 1/2*log|1-t|=$
$=1/2[t^2*log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|] $

e cioè
$ y(x)=-1/2x[t^2*log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|]{: ( -1 ),( x ) :} $

da cui:
$ y(x)=-1/2x[(log2 + 1/2 - 1 - log2) - (x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|)]=$
$=-1/2x[(-1/2) - (x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|)]=$
$=-1/2x[-1/2 - x^2log(1-x) - x^2/2 - x + log|1-x|]=$
$=1/2x[1/2 + x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|]= $

ho saltato meno passaggi possibili, anche perchè qui non mi costa nulla... cioè.. copio e incollo, non devo mica ricopriare ogni rigo
comunque, una volta ottenuto questo qisultato possiamo ricamrci sopra.. raccogliere, aprire parentesi etc...
però...

[sarawest]

.....però devo ancora moltiplicare per $-X$......il dato iniziale...o no?

io non ce la faccio più...me la sto sognando pure di notte

[sarawest]

Riporto il testo dell'esercizio....
$ y'(x)=(y(x))/(x)+(x)^(2)*log(1+|x|)$
$y(-1)=0
mi chiede di calcolare la soluzione...
visto che è un'equazione differenziale , del primo ordine, a coefficienti continui ed in forma normale

i coefficienti sono $a(x)=1/x$ e $b(x)= x^2 log(1*|x|)

applico la formula e arrivo alla formula che avevo scrittoo $y(x)=.....$

[~Mihaela~13]

"sarawest":.....però devo ancora moltiplicare per $-X$......il dato iniziale...o no?

io non ce la faccio più...me la sto sognando pure di notte

no, la $x$ che c'era all'inizio è davanti alla parentesi quadra insieme a quel $1/2$ che ho messa in evidenza...

hai fatto bene a postare la traccia comunque

vediamo se prima o poi qualcuno vorrà dare un'occhiata!! mannaggia

[pater46]

$b(x)$ coefficiente? è termine noto! Rapidamente si vede che l'omogenea è a variabili separabili, hai: $y' - y/x = 0 $ da cui ti ricavi $y = kx$.

Facciamo variare la costante. Poniamo $k = \gamma(x)$. Conseguentemente, considerando $\varphi$ soluzione particolare, avremo $\varphi = \gamma(x) \cdot x $, e dunque $\varphi'(x) = \gamma'(x) \cdot x + \gamma(x)$. Sostituiamo...

$\gamma'(x) \cdot x + \gamma(x) - \frac{ \gamma(x) \cdot x } { x } = x^2ln(1 + |x|) \to \gamma'(x) = x^2ln(1+|x|)$

Integriamo...

$\gamma(x) = int x^2ln(1+ |x| )$. Ora io ho usato il procedimento: $int \frac { x^n } { 1 + x } = int \frac { x^n + x^(n-1) } { 1 + x } - int \frac { x^(n-1) } { 1 + x } = int x^(n-1) - int \frac { x^(n-1) } { 1 + x } $

Non è chissà che gran procedimento, è l'unico che mi è venuto in mente ora e... funziona. Alla fine di tutto il rognoso procedimento ho ottenuto:

$ int x^2ln(1+x) = 1/18 [ 6(x^3+1)ln(1+x) - x(2x^2-3x+6) $. Ora hai la tua soluzione particolare. La famiglia delle soluzioni della non omogenea sarà allora:

$y(x) = kx + 1/18 [ 6(x^3+1)ln(1+x) - x(2x^2-3x+6) $.

Spero di non aver toppato, credo di no, comunque controllate!

[~Mihaela~13]

"sarawest":Riporto il testo dell'esercizio....
$ y'(x)=(y(x))/(x)+(x)^(2)*log(1+|x|)$
$y(-1)=0
mi chiede di calcolare la soluzione...
visto che è un'equazione differenziale , del primo ordine, a coefficienti continui ed in forma normale

i coefficienti sono $a(x)=1/x$ e $b(x)= x^2 log(1*|x|)

applico la formula e arrivo alla formula che avevo scrittoo $y(x)=.....$

ma $1/x$ è una funzione continua?