Equazione differenziale!
Sto risolvendo un problema di Cauchy...
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta
$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))
C'è qualche errore?
grazie mille!!!
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta
$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))
C'è qualche errore?


grazie mille!!!

Risposte
"sarawest":
Sto risolvendo un problema di Cauchy...
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta
$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))
C'è qualche errore?![]()
![]()
GRAZIE MILLEE!!!
ciao

potresti controllare se hai scritto quello che volevi?? magari hai ricopiato male qualcosa... non riesco a capire da dove saltano fuori quei passaggi...
io intanto ho preso l'integrale definito tra $x$ e $-1$, trovandone la primitva
e dopo ho calcolato la suddetta primitva negli estremi di integrazione...
"sarawest":
Sto risolvendo un problema di Cauchy...
arrivata a questo punto non riesco a risolvere....nel senso che la soluzione non viene esatta
$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
= $ x(t^(2)/(2)*log(1-x)*1/2log2 ](tra x,-1)-int_(x)^(-1) t^(2)/(2)*1/(1-t))dt=
= $ x( (x^(3))log(1-x)/2-1/2x*2log2(1-x)+1/2x^(2)+(x^(3)/4)+(1/4x))
C'è qualche errore?![]()
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GRAZIE MILLEE!!!
piccolo suggerimento: non scrivere a stampatello nei forum.
stampatello=urlare
correggilo prima che i moderatori te lo facciano notare!

scusate non volevo urlare
I passaggi sono quelli scritti
ho integrato per parti.......
questa è la funzione
$y(x)= -x* int_(x)^(-1) t*log(1-t) dt $
ora integro per parti
$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $
sino qui dovrebbe essere corretto....anche se non sono sicurissima

I passaggi sono quelli scritti
ho integrato per parti.......
questa è la funzione
$y(x)= -x* int_(x)^(-1) t*log(1-t) dt $
ora integro per parti
$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $
sino qui dovrebbe essere corretto....anche se non sono sicurissima
questa è la funzione
$y(x)= -x* int_(x)^(-1) t*log(1-t) dt $
ora integro per parti
$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $
sino qui dovrebbe essere corretto....anche se non sono sicurissima[/quote]
sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$
di questo sono meno convinta
$y(x)= -x* int_(x)^(-1) t*log(1-t) dt $
ora integro per parti
$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $
sino qui dovrebbe essere corretto....anche se non sono sicurissima[/quote]
sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$
di questo sono meno convinta

[OT]eh già... quoto mazzy89
no al maiuscolo (soprattutto nell'<>!!
)[/OT]
e poi vado ad avventurarmi nello svolgimento dell'integrale...
ammettendo che i passaggi attraverso cui hai ottenuto:
siano corretti...
ti faccio vedere come ho fatto io...
vado a risolvere:
$ int t*log(1-t)dt $
inizio per parti e ottengo:
$ t^2/2*log(1-t) - int t^2/(2*(1-t))dt $
dopo di che il mio problema diventa l'integrale $ int t^2/(2*(1-t))dt $
di cui metto in evidenza $1/2$ e risolvo $int t^2/(1-t)dt $
etc... salto un pò di passaggi noiosi...
arrivo alla fine a calcolare:
$ [t^2log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|] $ tra $x$ e $-1$
ci ritroviamo??

no al maiuscolo (soprattutto nell'<

e poi vado ad avventurarmi nello svolgimento dell'integrale...

ammettendo che i passaggi attraverso cui hai ottenuto:
"sarawest":
$ y(x)$=-x$ int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
siano corretti...
ti faccio vedere come ho fatto io...
vado a risolvere:
$ int t*log(1-t)dt $
inizio per parti e ottengo:
$ t^2/2*log(1-t) - int t^2/(2*(1-t))dt $
dopo di che il mio problema diventa l'integrale $ int t^2/(2*(1-t))dt $
di cui metto in evidenza $1/2$ e risolvo $int t^2/(1-t)dt $
etc... salto un pò di passaggi noiosi...
arrivo alla fine a calcolare:
$ [t^2log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|] $ tra $x$ e $-1$
ci ritroviamo??
ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....
però il risultato nell'esercizio viene così
$(x/2)(x-1)^(2)* log (1-x) - (x)^(2)/2-(x)^(3)/4+x(x-1)*log(1-x)-(x)/4
però il risultato nell'esercizio viene così
$(x/2)(x-1)^(2)* log (1-x) - (x)^(2)/2-(x)^(3)/4+x(x-1)*log(1-x)-(x)/4

](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif)
"sarawest":
sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$
maledizione, questa roba mi fa impazzire

scritto così quiasi non riconosco i passaggi

huh,...


però mi sembra che tu abbia invertito qualcosina
vedi se siamo d'accordo su questo:
$ int_(a)^(b) f'(x)dx = f(b) - f(a) $
(niente meno che il teorema fondamentale del calcolo integrale XD)
"~Mihaela~":
[quote="sarawest"]
sviluppo......
$= x ((x^(2)*log(1-x)-1/2*log2)-1/2* int_(x)^(-1)(-1)/(1-t)-1/2* int_(x)^(-1)(t+1))$
maledizione, questa roba mi fa impazzire

scritto così quiasi non riconosco i passaggi

huh,...


però mi sembra che tu abbia invertito qualcosina
vedi se siamo d'accordo su questo:
$ int_(a)^(b) f'(x)dx = f(b) - f(a) $
(niente meno che il teorema fondamentale del calcolo integrale XD)[/quote]
si ....credo di averlo applicato....forse ho sbagliato l'integrazione per parti?

"sarawest":
ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....
anch'io ho diviso così x)
"sarawest":
ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....
anch'io ho diviso così x)
"sarawest":
ok anche a me viene così....anche se mi ero complicata un pò la vita...avevo diviso $t^2 $con $(1-t)$....
però il risultato nell'esercizio viene così
$(x/2)(x-1)^(2)* log (1-x) - (x)^(2)/2-(x)^(3)/4+x(x-1)*log(1-x)-(x)/4
![]()
uffi... allora devo aver sbagliato qualcosa -.-''
mah...
ci rinuncio... magari qualcuno più esperto vorrà illuminarci prima o poi...

non sai quante volte ho provato a rifarla....ma nulla

temo che non dormirò stanotte...
questo integrale mi tortura...
comunque,... ci sarebbe un'altra cosa che vorrei mettere a fuoco:
non sono d'accordo sullo scrivere l'integrale in questa forma... perchè in teoria dovresti fare
$int_(x)^(-1) (int (t)^2/(2*(1-t)) dt) dt $
cioè... quell'integrale fa parte della primitiva ancora da calcolare... non puoi subito "attribuirgli" quegli estremi... (credo)
uff... magari domani scrivo tutti i passaggi per far capire come ho svolto l'esercizio... così sarà più facile individuare il mio errore eventualmente


comunque,... ci sarebbe un'altra cosa che vorrei mettere a fuoco:
"sarawest":
ora integro per parti
$=x*( (t)^2/2*log(1-t))_(x)^(-1) - int_(x)^(-1)(t)^2/(2*(1-t)) $
non sono d'accordo sullo scrivere l'integrale in questa forma... perchè in teoria dovresti fare
$int_(x)^(-1) (int (t)^2/(2*(1-t)) dt) dt $
cioè... quell'integrale fa parte della primitiva ancora da calcolare... non puoi subito "attribuirgli" quegli estremi... (credo)
uff... magari domani scrivo tutti i passaggi per far capire come ho svolto l'esercizio... così sarà più facile individuare il mio errore eventualmente
ok,.. scherzavo...
il commento di ieri sera fa pena -.-''
comunque...
$ y(x)=-x int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
risolvo separatamente:
$ int t*log(1-t)dt $
per parti ottengo:
$ int t*log(1-t)dt = t^2/2*log(1-t) - 1/2 int t^2/(1-t) dt $
$ int t^2/(1-t) dt = int [-t-1+1/(1-t)]dt $
quindi
$ t^2/2*log(1-t) - 1/2 int t^2/(1-t) dt= $
$=1/2t^2*log(1-t) - 1/2 int -t dt - 1/2 int -dt -1/2 int 1/(1-t)dt=$
$=1/2t^2*log(1-t) + 1/2*t^2/2 + 1/2*t - 1/2*log|1-t|=$
$=1/2[t^2*log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|] $
e cioè
$ y(x)=-1/2x[t^2*log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|]{: ( -1 ),( x ) :} $
da cui:
$ y(x)=-1/2x[(log2 + 1/2 - 1 - log2) - (x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|)]=$
$=-1/2x[(-1/2) - (x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|)]=$
$=-1/2x[-1/2 - x^2log(1-x) - x^2/2 - x + log|1-x|]=$
$=1/2x[1/2 + x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|]= $
ho saltato meno passaggi possibili, anche perchè qui non mi costa nulla... cioè.. copio e incollo, non devo mica ricopriare ogni rigo
comunque, una volta ottenuto questo qisultato possiamo ricamrci sopra.. raccogliere, aprire parentesi etc...
però...

comunque...
$ y(x)=-x int_(x)^(-1) t*log(1-t)dt $
risolvo separatamente:
$ int t*log(1-t)dt $
per parti ottengo:
$ int t*log(1-t)dt = t^2/2*log(1-t) - 1/2 int t^2/(1-t) dt $
$ int t^2/(1-t) dt = int [-t-1+1/(1-t)]dt $
quindi
$ t^2/2*log(1-t) - 1/2 int t^2/(1-t) dt= $
$=1/2t^2*log(1-t) - 1/2 int -t dt - 1/2 int -dt -1/2 int 1/(1-t)dt=$
$=1/2t^2*log(1-t) + 1/2*t^2/2 + 1/2*t - 1/2*log|1-t|=$
$=1/2[t^2*log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|] $
e cioè
$ y(x)=-1/2x[t^2*log(1-t) + t^2/2 + t - log|1-t|]{: ( -1 ),( x ) :} $
da cui:
$ y(x)=-1/2x[(log2 + 1/2 - 1 - log2) - (x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|)]=$
$=-1/2x[(-1/2) - (x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|)]=$
$=-1/2x[-1/2 - x^2log(1-x) - x^2/2 - x + log|1-x|]=$
$=1/2x[1/2 + x^2log(1-x) + x^2/2 + x - log|1-x|]= $
ho saltato meno passaggi possibili, anche perchè qui non mi costa nulla... cioè.. copio e incollo, non devo mica ricopriare ogni rigo

comunque, una volta ottenuto questo qisultato possiamo ricamrci sopra.. raccogliere, aprire parentesi etc...
però...
.....però devo ancora moltiplicare per $-X$......il dato iniziale...o no?
io non ce la faccio più...me la sto sognando pure di notte
io non ce la faccio più...me la sto sognando pure di notte

Riporto il testo dell'esercizio....
$ y'(x)=(y(x))/(x)+(x)^(2)*log(1+|x|)$
$y(-1)=0
mi chiede di calcolare la soluzione...
visto che è un'equazione differenziale , del primo ordine, a coefficienti continui ed in forma normale
i coefficienti sono $a(x)=1/x$ e $b(x)= x^2 log(1*|x|)
applico la formula e arrivo alla formula che avevo scrittoo $y(x)=.....$
$ y'(x)=(y(x))/(x)+(x)^(2)*log(1+|x|)$
$y(-1)=0
mi chiede di calcolare la soluzione...
visto che è un'equazione differenziale , del primo ordine, a coefficienti continui ed in forma normale
i coefficienti sono $a(x)=1/x$ e $b(x)= x^2 log(1*|x|)
applico la formula e arrivo alla formula che avevo scrittoo $y(x)=.....$
"sarawest":
.....però devo ancora moltiplicare per $-X$......il dato iniziale...o no?
io non ce la faccio più...me la sto sognando pure di notte
no, la $x$ che c'era all'inizio è davanti alla parentesi quadra insieme a quel $1/2$ che ho messa in evidenza...
hai fatto bene a postare la traccia comunque
vediamo se prima o poi qualcuno vorrà dare un'occhiata!! mannaggia

$b(x)$ coefficiente? è termine noto! Rapidamente si vede che l'omogenea è a variabili separabili, hai: $y' - y/x = 0 $ da cui ti ricavi $y = kx$.
Facciamo variare la costante. Poniamo $k = \gamma(x)$. Conseguentemente, considerando $\varphi$ soluzione particolare, avremo $\varphi = \gamma(x) \cdot x $, e dunque $\varphi'(x) = \gamma'(x) \cdot x + \gamma(x)$. Sostituiamo...
$\gamma'(x) \cdot x + \gamma(x) - \frac{ \gamma(x) \cdot x } { x } = x^2ln(1 + |x|) \to \gamma'(x) = x^2ln(1+|x|)$
Integriamo...
$\gamma(x) = int x^2ln(1+ |x| )$. Ora io ho usato il procedimento: $int \frac { x^n } { 1 + x } = int \frac { x^n + x^(n-1) } { 1 + x } - int \frac { x^(n-1) } { 1 + x } = int x^(n-1) - int \frac { x^(n-1) } { 1 + x } $
Non è chissà che gran procedimento, è l'unico che mi è venuto in mente ora e... funziona. Alla fine di tutto il rognoso procedimento ho ottenuto:
$ int x^2ln(1+x) = 1/18 [ 6(x^3+1)ln(1+x) - x(2x^2-3x+6) $. Ora hai la tua soluzione particolare. La famiglia delle soluzioni della non omogenea sarà allora:
$y(x) = kx + 1/18 [ 6(x^3+1)ln(1+x) - x(2x^2-3x+6) $.
Spero di non aver toppato, credo di no, comunque controllate!
Facciamo variare la costante. Poniamo $k = \gamma(x)$. Conseguentemente, considerando $\varphi$ soluzione particolare, avremo $\varphi = \gamma(x) \cdot x $, e dunque $\varphi'(x) = \gamma'(x) \cdot x + \gamma(x)$. Sostituiamo...
$\gamma'(x) \cdot x + \gamma(x) - \frac{ \gamma(x) \cdot x } { x } = x^2ln(1 + |x|) \to \gamma'(x) = x^2ln(1+|x|)$
Integriamo...
$\gamma(x) = int x^2ln(1+ |x| )$. Ora io ho usato il procedimento: $int \frac { x^n } { 1 + x } = int \frac { x^n + x^(n-1) } { 1 + x } - int \frac { x^(n-1) } { 1 + x } = int x^(n-1) - int \frac { x^(n-1) } { 1 + x } $
Non è chissà che gran procedimento, è l'unico che mi è venuto in mente ora e... funziona. Alla fine di tutto il rognoso procedimento ho ottenuto:
$ int x^2ln(1+x) = 1/18 [ 6(x^3+1)ln(1+x) - x(2x^2-3x+6) $. Ora hai la tua soluzione particolare. La famiglia delle soluzioni della non omogenea sarà allora:
$y(x) = kx + 1/18 [ 6(x^3+1)ln(1+x) - x(2x^2-3x+6) $.
Spero di non aver toppato, credo di no, comunque controllate!
"sarawest":
Riporto il testo dell'esercizio....
$ y'(x)=(y(x))/(x)+(x)^(2)*log(1+|x|)$
$y(-1)=0
mi chiede di calcolare la soluzione...
visto che è un'equazione differenziale , del primo ordine, a coefficienti continui ed in forma normale
i coefficienti sono $a(x)=1/x$ e $b(x)= x^2 log(1*|x|)
applico la formula e arrivo alla formula che avevo scrittoo $y(x)=.....$
ma $1/x$ è una funzione continua?
