Equazione differenziale

[marina2104]

Ho questa equazione differenziale da risolvere con il metodo delle variazioni delle costanti:

$y'' + 4y = 5sen2x$

Io la risolvo cosi:
-trovo prima di tutto l'integrale generale dell' equazione omogenea associata, quindi:

$\lambda^2 + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm 2i$

quindi la soluzione generale dell'omogenea è:

$y=C_1cos2x + C_2sen2x$

Cerco un integrale generale dell'equazione differenziale nella forma:

$y=\gamma_1cos2x + \gamma_2sen2x $

dove $\gamma_1'$ e $\gamma_2'$ sono soluzioni dell'equazione:

${(\gamma_1'cos2x + \gamma_2'sen2x = 0), (-2\gamma_1'sen2x + 2\gamma_2'cos2x = 5sen2x):}$

cerco le soluzioni:

${(\gamma_1' =- \gamma_2'(sen2x)/cos(2x)), (-2(-\gamma_2'(sen2x)/cos(2x))sen2x + 2\gamma_2'cos2x = 5sen2x):}

la seconda equazione diventa:

$2 \gamma_2'(sen^2(2x))/cos(2x) + 2\gamma_2'cos2x = 5sen2x$

$2 \gamma_2'sen^2(2x) + 2\gamma_2'cos^2(2x) = 5sen2xcos2x$

$ \gamma_2' = 5/2sen2xcos2x$

$ \gamma_1' = - 5/2sen^2(2x)$

quindi trovo le rispettive primitive:

$\gamma_1= -5/2int sen^2(2x)dx$

pongo $2x=y$ quindi $x= y/2$ e $dx=1/2dy$

$-5/4 int sen^2ydy = -5/4 int(1-cos2y)/2 dy$

$= -5/4 int 1/2 dy + 5/4 int (cos2y)/2 dy = -5/8y + 5/8 int (2cos2y)/2 dy$

$= -5/8y + 5/16sen2y = -5/4x + 5/16sen4x = \gamma_1$

ora trovo $\gamma_2$:

$\gamma_2= int 5/2(sen2x)(cos2x)dx = 5/2 int(sen2x)(cos2x)dx$

$= 5/4 int (sen2x)(2cos2x)dx = 5/4log(sen2x) = \gamma_2$

quindi alla fine l'integrale generale viene:

$y= C_1cos2x + C_2 sen2x -5/4x + 5/16sen4x + 5/4log(sen2x)$

mentre sul libro il risultato è:

$y= C_1cos2x + C_2sen2x - 5/4(xcos2x)$

dove sbaglio?

[stefano_89]

non ho controllato i calcoli, anche perchè non conosco bene questo metodo, comunque già a partire dalla seconda parentesi grafa mi pare ci sia una certa differenza da quanto si dice in: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... e_costanti
In particolare il primo $Y_1'$ mi sembra ben diverso dal corrispondente $c_1'$, poi puoddarsi che mi sbagli..

[Mathcrazy]

Hai sbagliato a trovare $\gamma 2$.
Infatti $int 5/2(sen2x)(cos2x)dx = -5/8 cos^2 (2x) $

Stai attenta a questo passaggio (che contiene l'errore!):

$= 5/4 int (sen2x)(2cos2x)dx = 5/4log(sen2x) = \gamma_2$

Il logaritmo non centra nulla, hai confuso con un altro integrale immediato!!

Poi basta fare un po di passaggi algebrici (e trigonometrici) per arrivare alla soluzione del libro.

Per il resto l'esercizio è svolto "certosinamente" ; a parte un dettaglio quando dici:

"marina2104":

Cerco un integrale generale dell'equazione differenziale nella forma:

$y=\gamma_1cos2x + \gamma_2sen2x $

Non stai cercando un integrale generale ma un integrale particolare della completa che alla fine, sommato all'integrale generale dell'omogenea ti darà l'integrale generale della completa..