Equazione differenziale
Ho un esercizio d'esame senza soluzione. Ho provato a farlo, ma poi ho difficoltà a passare dalla forma implicita a quella esplicita.
L'equazione è questa:
$y' = sen(x) - y$
la soluzione mi viene: $ln|tg(x/2)| = -ln|y|+k$
non sono in grado di esplicitare la y!
poi ho il problema di Cauchy per il quale: $y(0)=a$
ho sostituito direttamente nell'equazione in forma implicita, ma mi viene che: $-ln|a|+k=infty$
è un risultato plausibile oppure ho sbagliato qualche passaggio?
Inoltre mi chiede:
- dimostrare che la soluzione y(x) è definita per ogni x (ma dal mio risultato sembrerebbe proprio di no!)
- dire se y(x) è limitata per x appartenente ad R^2 (come faccio a dirlo?)
- dire se y(x) ha limite per x che tende a + infinito (lo devo calcolare prima di imporre le condizioni di Cauchy?)
L'equazione è questa:
$y' = sen(x) - y$
la soluzione mi viene: $ln|tg(x/2)| = -ln|y|+k$
non sono in grado di esplicitare la y!
poi ho il problema di Cauchy per il quale: $y(0)=a$
ho sostituito direttamente nell'equazione in forma implicita, ma mi viene che: $-ln|a|+k=infty$
è un risultato plausibile oppure ho sbagliato qualche passaggio?
Inoltre mi chiede:
- dimostrare che la soluzione y(x) è definita per ogni x (ma dal mio risultato sembrerebbe proprio di no!)
- dire se y(x) è limitata per x appartenente ad R^2 (come faccio a dirlo?)
- dire se y(x) ha limite per x che tende a + infinito (lo devo calcolare prima di imporre le condizioni di Cauchy?)
Risposte
come hai fatto a trovare quella soluzione?
Forse scrivendola in questo modo si capisce meglio quale procedimento devi usare: $y'+y=sen(x)$
Forse scrivendola in questo modo si capisce meglio quale procedimento devi usare: $y'+y=sen(x)$
la soluzione $y=(a+1/2)e^(-x)+1/2(sen x-cos x)$
All'inizio mi sono sbagliata ed avevo dimenticato un dx. Ii fatto è che non sono ancora molto pratica con le equazioni differenziali perché le sto facendo da poco tempo.
Comunque ho risolto l'equazione secondo le lineari non omogenee a coefficienti variabili (è giusto oppure non è questa tipologia?).
Mi viene: $y = c e^(int(- p dx)) ( int q e^( int(p dx ) dx + k))$
con $p=1 , q = sin x $
quindi: $ y = c e^(int( - dx)) ( int sen x e^x dx ) dx + k)$
alla fine la soluzione dell'integrale generale mi viene: $y = c e^ (-x) [ e^x/2 ( sen x - cos x ) + k]$
è giusto oppure dovevo fare qualche altra cosa?
Non ho capito nella risposta di luluemicia perché ci sono sia a che x e y: non dovrei sostituire x=0 e y=a?
Grazie ancora per le vostre risposte e scusate l'insistenza! ^_^
Comunque ho risolto l'equazione secondo le lineari non omogenee a coefficienti variabili (è giusto oppure non è questa tipologia?).
Mi viene: $y = c e^(int(- p dx)) ( int q e^( int(p dx ) dx + k))$
con $p=1 , q = sin x $
quindi: $ y = c e^(int( - dx)) ( int sen x e^x dx ) dx + k)$
alla fine la soluzione dell'integrale generale mi viene: $y = c e^ (-x) [ e^x/2 ( sen x - cos x ) + k]$
è giusto oppure dovevo fare qualche altra cosa?
Non ho capito nella risposta di luluemicia perché ci sono sia a che x e y: non dovrei sostituire x=0 e y=a?
Grazie ancora per le vostre risposte e scusate l'insistenza! ^_^
Ciao,
nel tuo integrale generale "devi far uscire una sola costanta arbitraria e non due (come hai fatto tu con c e k)". Dopo ciò sostituisci come hai detto, trovi il valore dell'unica costante arbitraria che ti è rimasta e ti viene la soluzione che ti ho indicato (y è la funzione soluzione, x è il nome della cosiddetta variabile indipendente, a è un dato della condizione iniziale; non ti deve meravigliare, dunque, la loro presenza!).
Ciao
nel tuo integrale generale "devi far uscire una sola costanta arbitraria e non due (come hai fatto tu con c e k)". Dopo ciò sostituisci come hai detto, trovi il valore dell'unica costante arbitraria che ti è rimasta e ti viene la soluzione che ti ho indicato (y è la funzione soluzione, x è il nome della cosiddetta variabile indipendente, a è un dato della condizione iniziale; non ti deve meravigliare, dunque, la loro presenza!).
Ciao
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