Equazione differenziale
ho questo problema di cauchy:
$ y'=ysenx-senx $
$ y(pi/2)=-1 $
$ y'-ysenx=-senx $
risolvo con il metodo del fattore integrante= $ e^cosx $
moltiplico ambo i membri per il fattore integrante e integro,ottenendo:
$ y(x)e^cosx=e^cosx+k $
divido tutto per $ e^cosx $
y(x)=k+1
impongo le condizioni iniziali k=-2
quindi la soluzione del problema è
y(x)=-1
è corretto??
[xdom="gugo82"]Non è nello spirito del forum risolvere gli esercizi "a scatola chiusa"; ti è stato chiesto di ricontrollare il risultato, l'hai fatto prima di tornare a postare?
Inoltre, abbiamo allentato la regola degli "up" (cfr. regolamento, 3.4) e, ciononostante, continuate ad "uppare" in maniera selvaggia?
Spiacente, ma non posso tollerarlo.
Chiudo fino alle 21:18.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Sbloccato.[/xdom]
$ y'=ysenx-senx $
$ y(pi/2)=-1 $
$ y'-ysenx=-senx $
risolvo con il metodo del fattore integrante= $ e^cosx $
moltiplico ambo i membri per il fattore integrante e integro,ottenendo:
$ y(x)e^cosx=e^cosx+k $
divido tutto per $ e^cosx $
y(x)=k+1
impongo le condizioni iniziali k=-2
quindi la soluzione del problema è
y(x)=-1
è corretto??
[xdom="gugo82"]Non è nello spirito del forum risolvere gli esercizi "a scatola chiusa"; ti è stato chiesto di ricontrollare il risultato, l'hai fatto prima di tornare a postare?
Inoltre, abbiamo allentato la regola degli "up" (cfr. regolamento, 3.4) e, ciononostante, continuate ad "uppare" in maniera selvaggia?
Spiacente, ma non posso tollerarlo.
Chiudo fino alle 21:18.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Sbloccato.[/xdom]
Risposte
è giusto questo risultato?
[mod="dissonance"]Quello che hai appena fatto si chiama, in gergo, "UP". Si tratta di un intervento atto unicamente a riportare il topic in cima alla lista. Recentemente abbiamo allentato la stretta sugli "UP", ammettendoli ad una distanza minima di 24 ore (il limite minimo precedente era 3 giorni). Ma ceramente 30 minuti sono troppo pochi. Per stavolta passi, visto che sei nuovo qui, ma evita che si ripeta di nuovo. Grazie per l'attenzione.[/mod]
Infine, c'è un modo molto semplice per controllare l'esattezza del risultato. Sostiuiscilo nell'equazione e nel dato iniziale e vedi se i conti tornano.
Infine, c'è un modo molto semplice per controllare l'esattezza del risultato. Sostiuiscilo nell'equazione e nel dato iniziale e vedi se i conti tornano.
scusami ma puoi farmi vedere esplicitamente come devo fare??
Allora, è facilissimo verificare che il tuo risultato è corretto. Sia $y(x)=-1$. Allora
$(-1)'=(-1)sin x + sin x$ si riduce, dopo aver svolto la derivata, a
$0=-sinx +sinx$, che è ovviamente verificata per ogni $x\inRR$.
Valutiamo $y(pi/2)$: ovviamente fa $-1$, quindi è verificata anche la condizione iniziale. Possiamo concludere che $y(x)=-1$ è la soluzione del p.d.C., e osservare che essa è definita ovunque. Due domande:
1) Ho scritto la soluzione e non una soluzione, ho fatto bene?
2) $y(x)$ è definita in tutto $RR$. Dovevamo aspettarcelo?
$(-1)'=(-1)sin x + sin x$ si riduce, dopo aver svolto la derivata, a
$0=-sinx +sinx$, che è ovviamente verificata per ogni $x\inRR$.
Valutiamo $y(pi/2)$: ovviamente fa $-1$, quindi è verificata anche la condizione iniziale. Possiamo concludere che $y(x)=-1$ è la soluzione del p.d.C., e osservare che essa è definita ovunque. Due domande:
1) Ho scritto la soluzione e non una soluzione, ho fatto bene?
2) $y(x)$ è definita in tutto $RR$. Dovevamo aspettarcelo?
grazie sei stato molto chiaro!
1)certo!visto che non stiamo parlando di un e.d.o. (che ammette infinite soluzioni) ma di un problema di Cauchy che ha una ed un unica soluzione.
rigurado la 2) sono un po meno certo...forse si perchè y'=ysenx-senx è definita su tutto R...
1)certo!visto che non stiamo parlando di un e.d.o. (che ammette infinite soluzioni) ma di un problema di Cauchy che ha una ed un unica soluzione.
rigurado la 2) sono un po meno certo...forse si perchè y'=ysenx-senx è definita su tutto R...
1) Purtroppo non è così semplice. Ci sono problemi di Cauchy che hanno più di una soluzione. Prendi il classico esempio di Giuseppe Peano:
[tex]\begin{cases}
y'=\sqrt[3]{y} \\
y(0)=0 \end{cases}[/tex]
Una soluzione è [tex]y(x)=0[/tex]. Ma ce ne sono altre: puoi verificare facilmente che la funzione
[tex]y(x)=\begin{cases}
({2 \over 3} x )^{3 \over 2} & x >0 \\
0 & x \le 0 \end{cases}[/tex]
è continua e derivabile (con derivata continua) in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], vale [tex]0[/tex] in [tex]0[/tex] e verifica l'equazione [tex]y'=\sqrt[3]{y}[/tex].
Quindi ci sono almeno due soluzioni. In realtà, le soluzioni sono infinite.
Quello che tu affermi è vero se il pdC in esame verifica le ipotesi di un teorema di esistenza e unicità (locale o globale) delle soluzioni. Hai studiato questi teoremi? Almeno l'enunciato, magari senza dimostrazione, dovresti averlo sentito da qualche parte.
2) Anche qui c'è di mezzo il teorema di esistenza e unicità, nella versione globale. Ne riparliamo dopo.
[tex]\begin{cases}
y'=\sqrt[3]{y} \\
y(0)=0 \end{cases}[/tex]
Una soluzione è [tex]y(x)=0[/tex]. Ma ce ne sono altre: puoi verificare facilmente che la funzione
[tex]y(x)=\begin{cases}
({2 \over 3} x )^{3 \over 2} & x >0 \\
0 & x \le 0 \end{cases}[/tex]
è continua e derivabile (con derivata continua) in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], vale [tex]0[/tex] in [tex]0[/tex] e verifica l'equazione [tex]y'=\sqrt[3]{y}[/tex].
Quindi ci sono almeno due soluzioni. In realtà, le soluzioni sono infinite.
Quello che tu affermi è vero se il pdC in esame verifica le ipotesi di un teorema di esistenza e unicità (locale o globale) delle soluzioni. Hai studiato questi teoremi? Almeno l'enunciato, magari senza dimostrazione, dovresti averlo sentito da qualche parte.
2) Anche qui c'è di mezzo il teorema di esistenza e unicità, nella versione globale. Ne riparliamo dopo.
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