Equazione differenziale
mi aiutate per piacere a capire come risolvere questa?
$ dy / dx = y / (2x+y) $
il libro propone una sostituzione del tipo $ y= z*x $ e ottiene $ x*z' = -(z+z^2) / (z + 2) $ e dice che $z= 0 $ e $z = -1$ sono le soluzioni particolari
ma non capisco perchè faccia così nè poi come gli fanno a venire quelle soluzioni
grazie mille!!!
$ dy / dx = y / (2x+y) $
il libro propone una sostituzione del tipo $ y= z*x $ e ottiene $ x*z' = -(z+z^2) / (z + 2) $ e dice che $z= 0 $ e $z = -1$ sono le soluzioni particolari
ma non capisco perchè faccia così nè poi come gli fanno a venire quelle soluzioni
grazie mille!!!
Risposte
Le equazioni del tipo [tex]$y^\prime =f(x,y)$[/tex] con la funzione al secondo membro omogenea (ossia che dipende unicamente dal rapporto di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex], cioè [tex]$f(x,y)=\varphi \left( \frac{y}{x} \right)$[/tex]) si riconducono a variabili separabili con quella sostituzione lì.
Che poi [tex]$z=0,\ -1$[/tex] siano integrali della equazione a variabili separabili [tex]$x\ z^\prime =\varphi (z)$[/tex] è evidente: infatti sono [tex]$0,\ -1$[/tex] sono gli (unici) zeri di [tex]$\varphi (z)$[/tex], sicché le applicazioni costanti [tex]$z(x)=0,\ z(x)=-1$[/tex] verificano la EDO.
Inoltre essi sono singolari in quanto non possono essere ottenute applicando il metodo risolutivo canonico (separazione delle variabili): infatti per "portare" [tex]$\varphi (z)$[/tex] al denominatore al primo membro devi supporre necessariamente che [tex]$\varphi (z)\neq 0$[/tex], ossia che [tex]$z\neq 0,\ -1$[/tex].
Che poi [tex]$z=0,\ -1$[/tex] siano integrali della equazione a variabili separabili [tex]$x\ z^\prime =\varphi (z)$[/tex] è evidente: infatti sono [tex]$0,\ -1$[/tex] sono gli (unici) zeri di [tex]$\varphi (z)$[/tex], sicché le applicazioni costanti [tex]$z(x)=0,\ z(x)=-1$[/tex] verificano la EDO.
Inoltre essi sono singolari in quanto non possono essere ottenute applicando il metodo risolutivo canonico (separazione delle variabili): infatti per "portare" [tex]$\varphi (z)$[/tex] al denominatore al primo membro devi supporre necessariamente che [tex]$\varphi (z)\neq 0$[/tex], ossia che [tex]$z\neq 0,\ -1$[/tex].
"gugo82":
Le equazioni del tipo [tex]$y^\prime =f(x,y)$[/tex] con la funzione al secondo membro omogenea (ossia che dipende unicamente dal rapporto di [tex]$x$[/tex] ed [tex]$y$[/tex], cioè [tex]$f(x,y)=\varphi \left( \frac{y}{x} \right)$[/tex]) si riconducono a variabili separabili con quella sostituzione lì.
Che poi [tex]$z=0,\ -1$[/tex] siano integrali della equazione a variabili separabili [tex]$x\ z^\prime =\varphi (z)$[/tex] è evidente: infatti sono [tex]$0,\ -1$[/tex] sono gli (unici) zeri di [tex]$\varphi (z)$[/tex], sicché le applicazioni costanti [tex]$z(x)=0,\ z(x)=-1$[/tex] verificano la EDO.
Inoltre essi sono singolari in quanto non possono essere ottenute applicando il metodo risolutivo canonico (separazione delle variabili): infatti per "portare" [tex]$\varphi (z)$[/tex] al denominatore al primo membro devi supporre necessariamente che [tex]$\varphi (z)\neq 0$[/tex], ossia che [tex]$z\neq 0,\ -1$[/tex].
Mi hai fregato sul tempo...
okay quindi facendo quella supposizione integro i due lati e mi viene
$ln ((z+1)/z^2) = lnx + k$
da qui dovrei ripassare in y e x mettendo y/x al posto di z? facendo così mi viene $2 y/x = x*c$ ma questa equazione non ha l'aspetto di essere corretta...
grazie !!!
$ln ((z+1)/z^2) = lnx + k$
da qui dovrei ripassare in y e x mettendo y/x al posto di z? facendo così mi viene $2 y/x = x*c$ ma questa equazione non ha l'aspetto di essere corretta...
grazie !!!
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