Equazione differenziale (58954)

[acrilicox]

Salve a tutti, bè la mia comprensione della matematica si ferma alle integrali...c'è qualcuno che può aiutarmi a risolvere la seguente equazione differenziale, magari possibilmente in modo chiaro e scandendo i vari passaggi, con la speranza che riuscirò forse un giorno a capirle?
grazie tantissimo a chi risponderà!!

[math] y''-3y = 2senx - cosx [/math]

[ciampax]

Per risolvere questa equazione (del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea) devi fare due passi:

1) soluzione dell'equazione

[math]y''-3y=0[/math]

.

L'equazione algebrica associata è

[math]\lambda^2-3\lambda=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]\lambda=0,\ \lambda=3[/math]

e quindi la soluzione della parte omogenea

[math]y_o(x)=C_1+C_2 e^{3x}[/math]

2) soluzione particolare.

Cerchiamo una soluzione dell'equazione della forma

[math]y_p(x)=A\sin x+B\cos x[/math]

(questo per confronto con il termine non omogeneo).

Derivando si ha

[math]y_p'=A\cos x-B\sin x,\ \ y_p''=-A\sin x-B\cos x=-y_p[/math]

e sostituendo

[math]-y_p-3y_p=2\sin x-\cos x[/math]

da cui

[math]-4y_p=-4A\sin x-4B\cos x=2\sin x-\cos x[/math]

e quindi

[math]-4A=2,\ -4B=-1[/math]

, per cui la soluzione

[math]y_p(x)=-\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{4}\cos x[/math]

Infine la soluzione completa è data da

[math]y(x)=y_o(x)+y_p(x)[/math]