Equazione differenziale
andate qui..
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#305133
salve a tutti, ho un problema di prim'ordine
:
$x'=3*x^2-x^3$
$x(0)=2$
questo e' il problema di cauchy, il mio invece di problema deriva dal fatto della notazione. per come la vedo io basta integrare a dx e sx per ottenere un integrale generale, ma possibile che sia cosi banale? e' piu' probabile che non ci abbia capito molto.. se mi date una mano..
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#305133
salve a tutti, ho un problema di prim'ordine
: $x'=3*x^2-x^3$
$x(0)=2$
questo e' il problema di cauchy, il mio invece di problema deriva dal fatto della notazione. per come la vedo io basta integrare a dx e sx per ottenere un integrale generale, ma possibile che sia cosi banale? e' piu' probabile che non ci abbia capito molto.. se mi date una mano..
Risposte
Ricordati che $x=x(t)$ e tu devi trovare l'intervallo di dove varia $t$
"mashiro":
non solo.. l'esercizio di cui sopra, chiede anche di verificare il $lim_t->0^+$ e $lim_t->3^-$ della funzione $x(t)$
non mi e' chiaro chi e' x(t) nel senso, nel nostro caso abbiamo chiamato t la primitiva (il risultato dell'integrale) e l'abbiamo esplicitata nella variabile x.
secondo voi la primitiva che abbiamo trovato e' la t(x) o la x(t)??
mi rendo conto che la domanda non e' proprio ben posta, spero si capisca comunque...
Noi abbiamo trovato $t=t(x)$
mmm... sibillino...
scusa ma mi sto proprio incasinando...
puoi essere un po' piu' chiaro??
scusa ma mi sto proprio incasinando...
puoi essere un po' piu' chiaro??
"Lord K":
[quote="mashiro"]non solo.. l'esercizio di cui sopra, chiede anche di verificare il $lim_t->0^+$ e $lim_t->3^-$ della funzione $x(t)$
non mi e' chiaro chi e' x(t) nel senso, nel nostro caso abbiamo chiamato t la primitiva (il risultato dell'integrale) e l'abbiamo esplicitata nella variabile x.
secondo voi la primitiva che abbiamo trovato e' la t(x) o la x(t)??
mi rendo conto che la domanda non e' proprio ben posta, spero si capisca comunque...
Noi abbiamo trovato $t=t(x)$[/quote]
quidni devo ribaltare la funzione e trovare la x(t)
che casin.. e poi far tendere questa funzione ai due estremi 0 e 3??
e come cacchio si fa??!!
"Lord K":
$A*ln(x) - B/x + C*ln(3-x) + D= t$
Questo è il risultato che ho postato. Qui si nota un legame tra $x$ e $t$ ove viene determinata $t$ una volta conosciuta $x$. Dunque $t=t(x)$ è la funzione implicita (si dice così perchè abbiamo la funzione "rivoltata" con $t$ dipendente e $x$ indipedente)
Da qui vediamo che $x in (0,3)$. Ci viene chiesto però l'intervallo massimale di $t$, infatti l'equazione differenziale di partenza è:
$d/(dt)x(t) = 3*x(t)^2-x(t)^3$
Per procedere ora e alutare l'intervallo di $t$ è necessario il calcolo di $A,B,C,D$... con un poco di pazienza...
${(A=1/9),(B=1/3),(C=1/9):}$
con $D$ che dipende dalle condizioni iniziali del problema.
non ci sto capendo nulla.. l'intervallo massimale (0,3) non c'entra niente??
sono alquanto in confusione.. e come si calcola x(t)??
sono alquanto in confusione.. e come si calcola x(t)??
UP...
come si calcola x(t)???
come si calcola x(t)???
Io ti consiglierei, tanto per non fare anzitutto confusione con le variabili, di considerare anzitutto l'analogo problema di cauchy:
y' = $3y^2-y^3$ con y(0)=2
La soluzione di questo problema è espressa implicitamente da:
x = $\int_2^y1/(3y^2-y^3)dy$
Risolvendo si ottiene:
$ -1/9ln(6-2y)+1/9lny-1/(3y)+1/6=x$
Essa non è altro che l'inversa della funzione definita da:
$ -1/9ln(6-2x)+1/9lnx-1/(3x)+1/6=y$ [**]
(ricorda che se scambi x con y nell'equazione di una funzione ottieni quella dell'inversa)
Quindi per tracciare il grafico della soluzione del problema di cauchy iniziale puoi tracciare il grafico di [**] e poi farne il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Si ottiene che il grafico della soluzione del problema di chachy dato è compreso nella striscia di piano definita dalla condizione 0
Per quanto riguarda il problema dell'intervallo massimale e dei limiti agli estremi si può ragionare così:
il dominio massimale di non è altro che il codominio di [**] ; dal grafico di [**] si vede che il codominio di [**] è R (infatti [**] è definita in (0,3) e tende a $-infty$ per $x->0^+$ e a $+infty$ per $x->3^-$).
Ne viene che l'intervallo massimale della soluzione del problema di cauchy originario è $(-infty, +infty)$. Il limite della soluzione per $x->-infty$ è 0 e il limite della soluzione per $x->+infty$ è 3.
y' = $3y^2-y^3$ con y(0)=2
La soluzione di questo problema è espressa implicitamente da:
x = $\int_2^y1/(3y^2-y^3)dy$
Risolvendo si ottiene:
$ -1/9ln(6-2y)+1/9lny-1/(3y)+1/6=x$
Essa non è altro che l'inversa della funzione definita da:
$ -1/9ln(6-2x)+1/9lnx-1/(3x)+1/6=y$ [**]
(ricorda che se scambi x con y nell'equazione di una funzione ottieni quella dell'inversa)
Quindi per tracciare il grafico della soluzione del problema di cauchy iniziale puoi tracciare il grafico di [**] e poi farne il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Si ottiene che il grafico della soluzione del problema di chachy dato è compreso nella striscia di piano definita dalla condizione 0
Per quanto riguarda il problema dell'intervallo massimale e dei limiti agli estremi si può ragionare così:
il dominio massimale di
"sylowww":
....Ora questa è l'equazione della curva che soddisfa il problema iniziale.
Essa non è altro che l'inversa della funzione definita da:
$ -1/9ln(6-2x)+1/9lnx-1/(3x)+1/6=y$ [**]
(ricorda che se scambi x con y nell'equazione di una funzione ottieni quella dell'inversa)
ma scusa, l'inversa del logaritmo e' l'esponenziale, come puoi mettere la x al posto della y e avere l'inversa di una funzione??
qualcuno puo' aiutarmi??
per fare un po' di pulizia..
$t(x)=-1/9ln(6-2x)-1/(3x)+1/6$
devo trovare l'inversa di questa funzione (devo esplicitare la $x(t)$).. a occhio mi sembra che esista essendo combinazione di funzioni biiettive, ma operativamente come devo fare??
mi aiutate?? 
quest'inversa, come si calcola..??
quest'inversa, come si calcola..??
Non capisco, hai aspettato quattro mesi dal post di sylowww e ora tutta questa fretta?
[mod="Fioravante Patrone"]Ti ricordo:
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta. [/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]Ti ricordo:
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta. [/mod]
scusa, hai ragione, pensavo fosse di 2 giorni il limite per un up..
cmq non c'e' niente da capire, ho avuto altro da fare in questo tempo..
cmq non c'e' niente da capire, ho avuto altro da fare in questo tempo..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo