Equazione differenziale

mashiro1
andate qui..

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#305133



salve a tutti, ho un problema di prim'ordine :P :

$x'=3*x^2-x^3$
$x(0)=2$

questo e' il problema di cauchy, il mio invece di problema deriva dal fatto della notazione. per come la vedo io basta integrare a dx e sx per ottenere un integrale generale, ma possibile che sia cosi banale? e' piu' probabile che non ci abbia capito molto.. se mi date una mano..

Risposte
Lord K
Ricordati che $x=x(t)$ e tu devi trovare l'intervallo di dove varia $t$

Lord K
"mashiro":
non solo.. l'esercizio di cui sopra, chiede anche di verificare il $lim_t->0^+$ e $lim_t->3^-$ della funzione $x(t)$
non mi e' chiaro chi e' x(t) nel senso, nel nostro caso abbiamo chiamato t la primitiva (il risultato dell'integrale) e l'abbiamo esplicitata nella variabile x.
secondo voi la primitiva che abbiamo trovato e' la t(x) o la x(t)??
mi rendo conto che la domanda non e' proprio ben posta, spero si capisca comunque...


Noi abbiamo trovato $t=t(x)$

mashiro1
mmm... sibillino...
scusa ma mi sto proprio incasinando...
puoi essere un po' piu' chiaro??

mashiro1
"Lord K":
[quote="mashiro"]non solo.. l'esercizio di cui sopra, chiede anche di verificare il $lim_t->0^+$ e $lim_t->3^-$ della funzione $x(t)$
non mi e' chiaro chi e' x(t) nel senso, nel nostro caso abbiamo chiamato t la primitiva (il risultato dell'integrale) e l'abbiamo esplicitata nella variabile x.
secondo voi la primitiva che abbiamo trovato e' la t(x) o la x(t)??
mi rendo conto che la domanda non e' proprio ben posta, spero si capisca comunque...


Noi abbiamo trovato $t=t(x)$[/quote]

quidni devo ribaltare la funzione e trovare la x(t)
che casin.. e poi far tendere questa funzione ai due estremi 0 e 3??
e come cacchio si fa??!!

Lord K
"Lord K":

$A*ln(x) - B/x + C*ln(3-x) + D= t$


Questo è il risultato che ho postato. Qui si nota un legame tra $x$ e $t$ ove viene determinata $t$ una volta conosciuta $x$. Dunque $t=t(x)$ è la funzione implicita (si dice così perchè abbiamo la funzione "rivoltata" con $t$ dipendente e $x$ indipedente)

Da qui vediamo che $x in (0,3)$. Ci viene chiesto però l'intervallo massimale di $t$, infatti l'equazione differenziale di partenza è:

$d/(dt)x(t) = 3*x(t)^2-x(t)^3$

Per procedere ora e alutare l'intervallo di $t$ è necessario il calcolo di $A,B,C,D$... con un poco di pazienza...

${(A=1/9),(B=1/3),(C=1/9):}$

con $D$ che dipende dalle condizioni iniziali del problema.

mashiro1
non ci sto capendo nulla.. l'intervallo massimale (0,3) non c'entra niente??
sono alquanto in confusione.. e come si calcola x(t)??

mashiro1
UP...
come si calcola x(t)???

sylowww
Io ti consiglierei, tanto per non fare anzitutto confusione con le variabili, di considerare anzitutto l'analogo problema di cauchy:
y' = $3y^2-y^3$ con y(0)=2
La soluzione di questo problema è espressa implicitamente da:
x = $\int_2^y1/(3y^2-y^3)dy$
Risolvendo si ottiene:
$ -1/9ln(6-2y)+1/9lny-1/(3y)+1/6=x$

  • Ora questa è l'equazione della curva che soddisfa il problema iniziale.
    Essa non è altro che l'inversa della funzione definita da:
    $ -1/9ln(6-2x)+1/9lnx-1/(3x)+1/6=y$ [**]
    (ricorda che se scambi x con y nell'equazione di una funzione ottieni quella dell'inversa)
    Quindi per tracciare il grafico della soluzione del problema di cauchy iniziale puoi tracciare il grafico di [**] e poi farne il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
    Si ottiene che il grafico della soluzione del problema di chachy dato è compreso nella striscia di piano definita dalla condizione 0
    Per quanto riguarda il problema dell'intervallo massimale e dei limiti agli estremi si può ragionare così:
    il dominio massimale di
  • non è altro che il codominio di [**] ; dal grafico di [**] si vede che il codominio di [**] è R (infatti [**] è definita in (0,3) e tende a $-infty$ per $x->0^+$ e a $+infty$ per $x->3^-$).
  • Ne viene che l'intervallo massimale della soluzione del problema di cauchy originario è $(-infty, +infty)$. Il limite della soluzione per $x->-infty$ è 0 e il limite della soluzione per $x->+infty$ è 3.

    mashiro1
    "sylowww":

    ....Ora questa è l'equazione della curva che soddisfa il problema iniziale.
    Essa non è altro che l'inversa della funzione definita da:
    $ -1/9ln(6-2x)+1/9lnx-1/(3x)+1/6=y$ [**]
    (ricorda che se scambi x con y nell'equazione di una funzione ottieni quella dell'inversa)


    ma scusa, l'inversa del logaritmo e' l'esponenziale, come puoi mettere la x al posto della y e avere l'inversa di una funzione??
    qualcuno puo' aiutarmi??

    per fare un po' di pulizia..

    $t(x)=-1/9ln(6-2x)-1/(3x)+1/6$

    devo trovare l'inversa di questa funzione (devo esplicitare la $x(t)$).. a occhio mi sembra che esista essendo combinazione di funzioni biiettive, ma operativamente come devo fare??

    mashiro1
    mi aiutate?? :)
    quest'inversa, come si calcola..??

    Fioravante Patrone1
    Non capisco, hai aspettato quattro mesi dal post di sylowww e ora tutta questa fretta?

    [mod="Fioravante Patrone"]Ti ricordo:
    3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta. [/mod]

    mashiro1
    scusa, hai ragione, pensavo fosse di 2 giorni il limite per un up..
    cmq non c'e' niente da capire, ho avuto altro da fare in questo tempo.. :)

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