Equazione differenziale
andate qui..
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#305133
salve a tutti, ho un problema di prim'ordine
:
$x'=3*x^2-x^3$
$x(0)=2$
questo e' il problema di cauchy, il mio invece di problema deriva dal fatto della notazione. per come la vedo io basta integrare a dx e sx per ottenere un integrale generale, ma possibile che sia cosi banale? e' piu' probabile che non ci abbia capito molto.. se mi date una mano..
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#305133
salve a tutti, ho un problema di prim'ordine
: $x'=3*x^2-x^3$
$x(0)=2$
questo e' il problema di cauchy, il mio invece di problema deriva dal fatto della notazione. per come la vedo io basta integrare a dx e sx per ottenere un integrale generale, ma possibile che sia cosi banale? e' piu' probabile che non ci abbia capito molto.. se mi date una mano..
Risposte
Si è proprio così....
dato
$y'=3x^2-x^3$
$y(0)=2$
si ottiene
$y=x^3-x^4/4+2$ dove posto $x=0$ si ottiente $y=2$ che è la condizione posta all'inizio.
dato
$y'=3x^2-x^3$
$y(0)=2$
si ottiene
$y=x^3-x^4/4+2$ dove posto $x=0$ si ottiente $y=2$ che è la condizione posta all'inizio.
"mashiro":
salve a tutti, ho un problema di prim'ordine
$x'=3*x^2-x^3$
$x(0)=2$
questo e' il problema di cauchy, il mio invece di problema deriva dal fatto della notazione. per come la vedo io basta integrare a dx e sx per ottenere un integrale generale, ma possibile che sia cosi banale? e' piu' probabile che non ci abbia capito molto.. se mi date una mano..
Credo che tu stia confondendo la $x$, che qui indica la funzione incognita, con la variabile indipendente.
Se riscrivi l'equazione come
$y'=3*y^2-y^3$
$y(0)=2$
oppure come
$x'(t)=3*x^2(t)-x^3(t)$
$x(0)=2$
le cose cambiano per te ?
hai proprio ragione, e' per quello che ho detto che ho un problema di notazione.
in effetti, se le notazioni sono interscambiabili, mi spiego anche il secondo punto del mio esercizio.
dovrei infatti trovare l'intervallo di esistenza, e poi dire quali sono i limiti per $t->a^+$ e $t->b^-$ essendo a e b gli estremi dell'intervallo di validita'..
in effetti, se le notazioni sono interscambiabili, mi spiego anche il secondo punto del mio esercizio.
dovrei infatti trovare l'intervallo di esistenza, e poi dire quali sono i limiti per $t->a^+$ e $t->b^-$ essendo a e b gli estremi dell'intervallo di validita'..
oops io ho interpretato male la tua richiesta.....ho letto una cosa per un'altra.... 
no, no, ho risposto malamente io.. hai risposto alla grande, vicious..... ha messo la ciliegina.. 
grazie ad entrambi.. adesso devo trovare l'intervallo massimo di esistenza.
non essendo una disequazione, come cavolo trovo l'intervallo? idee??
grazie ad entrambi.. adesso devo trovare l'intervallo massimo di esistenza.
non essendo una disequazione, come cavolo trovo l'intervallo? idee??
L'equazione:
$x'=3x^2-x^3$
$x(0)=2$
può essere integrata direttamente:
$\int (dx)/(3x^2-x^3) = t$
$\int (dx)/(x^2*(3-x)) = t$
$\int A/x dx + \int B/x^2 dx + \int C/(3-x)dx= t$
$A*ln(x) - B/x + C*ln(3-x) + D= t$
Con opportuni valori di $A,B,C,D$. Ovvio che è una equazione implicita! A te il resto!
$x'=3x^2-x^3$
$x(0)=2$
può essere integrata direttamente:
$\int (dx)/(3x^2-x^3) = t$
$\int (dx)/(x^2*(3-x)) = t$
$\int A/x dx + \int B/x^2 dx + \int C/(3-x)dx= t$
$A*ln(x) - B/x + C*ln(3-x) + D= t$
Con opportuni valori di $A,B,C,D$. Ovvio che è una equazione implicita! A te il resto!
allora, vediamo se ho capito.
cosa intendi per opportuni valori di ABCD? quelli non vengono fuori dall'uguaglianza dei coefficienti dello stesso grado (al numeratore)?
tipo $A(x(3-x)) + B(3-x) + C(x^2) = 1$
quindi raccoliendo i coefficienti (a dx e sx) per ordine di grado abbiamo
$x^2*(0)+x*(0)+1=x^2(C-A) + x(3A-B) + 3B$
quindi i valori di A,B,C sono gia' determinati nel momento della risoluzione degli integrali, cosa significa "opportuni"?
da dove spunta D?
cosa intendi per opportuni valori di ABCD? quelli non vengono fuori dall'uguaglianza dei coefficienti dello stesso grado (al numeratore)?
tipo $A(x(3-x)) + B(3-x) + C(x^2) = 1$
quindi raccoliendo i coefficienti (a dx e sx) per ordine di grado abbiamo
$x^2*(0)+x*(0)+1=x^2(C-A) + x(3A-B) + 3B$
quindi i valori di A,B,C sono gia' determinati nel momento della risoluzione degli integrali, cosa significa "opportuni"?
da dove spunta D?
Mi sa che è errato il procedimento di "lordK", forse mi sbaglio, ma penso che $A$, $B$ e $C$ non siano costanti, ma funzioni di $x$, pertanto non si possono estrarre dall'integrale come è stato fatto
proseguendo..
la condizione iniziale e' $x(t=0) = 2$ quindi valuto D ponendo t=0 e x=2
mi rimane il problema dell'intervallo massimale di esistenza.. cosa mi manca ceh non vedo??
la condizione iniziale e' $x(t=0) = 2$ quindi valuto D ponendo t=0 e x=2
mi rimane il problema dell'intervallo massimale di esistenza.. cosa mi manca ceh non vedo??
"Alexp":
Mi sa che è errato il procedimento di "lordK", forse mi sbaglio, ma penso che $A$, $B$ e $C$ non siano costanti, ma funzioni di $x$, pertanto non si possono estrarre dall'integrale come è stato fatto
per come la vedo io ha omesso di svolgere tutto per comodita' ma mi pare sia corretto.
A,B,C vengono dall'integrale stesso, mentre D viene dalle condizioni al contorno..
questo e' cio' che ho capito.
non mi torna l'intervallo..
nessuno puo' darmi una mano sull'intervallo massimale??
"Lord K":
L'equazione:
$x'=3x^2-x^3$
$x(0)=2$
può essere integrata direttamente:
$\int (dx)/(3x^2-x^3) = t$
posso sempre farlo per risolvere un'equazione di primo ordine questo procedimento?
$x'=f(x)$
$\int (dx)/f(x) = t$
trovo molto confusionale la notazione.
chi mi puo' speigare in maniera chiara cosa e' stato fatto e a cosa serve trovare la t se l'incognita e' la x??
E' una equazione autonoma, quindi a variabili separabili. Che si riduce quindi a:
- due problemi di integrazione
- la inversione (se necessaria) di una funzione, per ottenere una soluzione cosiddetta "esplicita"
Quanto alla soluzione di Lord K, non ha fatto altro che applicare la decomposizione in fatti semplici per effettuare l'integrazione "a primo membro".
Se ti pare il caso, puoi dare un'occhiata agli appunti che sono indicati nella mia "firma".
- due problemi di integrazione
- la inversione (se necessaria) di una funzione, per ottenere una soluzione cosiddetta "esplicita"
Quanto alla soluzione di Lord K, non ha fatto altro che applicare la decomposizione in fatti semplici per effettuare l'integrazione "a primo membro".
Se ti pare il caso, puoi dare un'occhiata agli appunti che sono indicati nella mia "firma".
ok, la risoluzione non presenta piu' grosse problematiche direi, il mio problema e' una volta trovato e svolto l'integrale, come trovo l'intervallo massimale?? che significa??
"Lord K":
può essere integrata direttamente:
$\int (dx)/(3x^2-x^3) = t$
$\int (dx)/(x^2*(3-x)) = t$
$\int A/x dx + \int B/x^2 dx + \int C/(3-x)dx= t$
$A*ln(x) - B/x + C*ln(3-x) + D= t$
Con opportuni valori di $A,B,C,D$. Ovvio che è una equazione implicita! A te il resto!
Quindi con $A$, $B$, $C$ e $D$ indica delle costanti, giusto? altrimenti non si potrebbe estrarle in quel modo dagli integrali.
Sono infatti costanti che permettono la scomposizione della frazione integranda.
"Alexp":
[quote="Lord K"]
può essere integrata direttamente:
$\int (dx)/(3x^2-x^3) = t$
$\int (dx)/(x^2*(3-x)) = t$
$\int A/x dx + \int B/x^2 dx + \int C/(3-x)dx= t$
$A*ln(x) - B/x + C*ln(3-x) + D= t$
Con opportuni valori di $A,B,C,D$. Ovvio che è una equazione implicita! A te il resto!
Quindi con $A$, $B$, $C$ e $D$ indica delle costanti, giusto? altrimenti non si potrebbe estrarle in quel modo dagli integrali.[/quote]
ma sono costanti.. sono numeri..
"mashiro":
nessuno puo' darmi una mano sull'intervallo massimale??
Dovrebbe essere:
$x in I=(0,3)$
Ovvero l'insieme di esistenza della primitiva, essendo però implicita osservo che se $x in I$ allora $t in (-oo,T]$ Con $T=max_x(t)$
l'intervallo massimale e' sempre l'intervallo "piu' grande" dove esiste la primitiva??
nel mio caso lo zero deriva dalla condizione che il $ln(x)$ esiste per $x>0$ mentre il 3 deriva dalla condizione che $ln(3-x)$ esiste per $x<3$.
giusto?? le soluzioni devono essere ovviamente verificate entrambe (1/x ha un buco in zero) quindi quello e' il mio intervallo di esistenza??
nel mio caso lo zero deriva dalla condizione che il $ln(x)$ esiste per $x>0$ mentre il 3 deriva dalla condizione che $ln(3-x)$ esiste per $x<3$.
giusto?? le soluzioni devono essere ovviamente verificate entrambe (1/x ha un buco in zero) quindi quello e' il mio intervallo di esistenza??
non solo.. l'esercizio di cui sopra, chiede anche di verificare il $lim_(t->0^+)$ e $lim_(t->3^-)$ della funzione $x(t)$
non mi e' chiaro chi e' x(t) nel senso, nel nostro caso abbiamo chiamato t la primitiva (il risultato dell'integrale) e l'abbiamo esplicitata nella variabile x.
secondo voi la primitiva che abbiamo trovato e' la t(x) o la x(t)??
mi rendo conto che la domanda non e' proprio ben posta, spero si capisca comunque...
non mi e' chiaro chi e' x(t) nel senso, nel nostro caso abbiamo chiamato t la primitiva (il risultato dell'integrale) e l'abbiamo esplicitata nella variabile x.
secondo voi la primitiva che abbiamo trovato e' la t(x) o la x(t)??
mi rendo conto che la domanda non e' proprio ben posta, spero si capisca comunque...
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