Equazione differenziale
Ciao a tutti,
volevo proporre qui sul forum un esercizietto:
Qualcuno ha idea di come risolvere la seguente ed(equazione differenziale)?
t(1+y^2)y'=3
io mettendola "in forma normale" ottengo:
y'=3/[t*(1+y^2)]
ho provato anche a fare la sostituzione z=y^2 e ancora niente.
qualcuno ha altre idee?
ringrazio tutti coloro che risponderanno.
michele.
volevo proporre qui sul forum un esercizietto:
Qualcuno ha idea di come risolvere la seguente ed(equazione differenziale)?
t(1+y^2)y'=3
io mettendola "in forma normale" ottengo:
y'=3/[t*(1+y^2)]
ho provato anche a fare la sostituzione z=y^2 e ancora niente.
qualcuno ha altre idee?
ringrazio tutti coloro che risponderanno.
michele.
Risposte
Per ogni $t \in \mathbb{R} \setminus\{0\}$ l'equazione equivale a
$y' + y^2 y' = \frac{3}{t}$
Integrando ambo i membri si ottiene
$y(t) + \frac{1}{3} y^3(t) = 3 \ln(|t|) + k$ ($k$ è una costante abritraria)
Quindi tutte le funzioni $y: A \subseteq \mathbb{R} \setminus \{0} \to \mathbb{R}$ definite implicitamente dall'equazione precedente sono soluzioni dell'equazione differenziale.
$y' + y^2 y' = \frac{3}{t}$
Integrando ambo i membri si ottiene
$y(t) + \frac{1}{3} y^3(t) = 3 \ln(|t|) + k$ ($k$ è una costante abritraria)
Quindi tutte le funzioni $y: A \subseteq \mathbb{R} \setminus \{0} \to \mathbb{R}$ definite implicitamente dall'equazione precedente sono soluzioni dell'equazione differenziale.
Grazie mille tipper.quinde le soluzioni sono rappresentate dall'equazione precedente?(quella che hai scritto tu in cui compare y^3)?
grazie.
grazie.
Le soluzioni sono le $y(t)$ che soddisfano l'equazione precedente.
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