Equazione differenziale
Salve a tutta la comunità.
Mi hanno proposto il quesito che segue. E' un po' (circa trent'anni) che non svolgo un'equazione differenziale e vorrei avere l'approvazione, anche nella forma, dello svolgimento da me proposto. Ringrazio in anticipo.
"Dopo aver identificato il tipo di equazione differenziale, risolvere l'equazione y' = x y^2 e determinare l'integrale che verifica la condizione iniziale y(1) = -1 "
E' un'equazione differenziale del primo ordine e si risolve per separazione delle variabili.
In particolare:
sapendo che $y'=dy/dx$ possiamo scrivere:
$dy/dx = x*y^2$
separando, appunto, le variabili:
$dy/ y^2= x*dx$
che possiamo anche scrivere come:
$y^(-2)*dy = x*dx$
a questo punto integriamo primo e secondo membro:
$int y^(-2)*dy = intx*dx$
otteniamo :
$y^(-1)/-1 = x^2/2 + C$
che possiamo anche scrivere come :
$-1/y = x^2/2 + C$
invertendo ora entrambi i membri, e moltiplichiamoli per -1, si ottiene l'integrale generale:
$y=- 2 / (x^2 + 2C)$
Determiniamo ora il valore della costante C imponendo la condizione iniziale $y(1)=-1$ :
$- 2 /(1+2C) = -1$
da cui agevolmente si può ottenere il valore di C.
$C= 1/2$
Se ora sostituiamo nell'espressione che rappresenta l'integrale generale, otteniamo l’integrale particolare:
$y = - 2 / (x^2 + 1)$
Mi hanno proposto il quesito che segue. E' un po' (circa trent'anni) che non svolgo un'equazione differenziale e vorrei avere l'approvazione, anche nella forma, dello svolgimento da me proposto. Ringrazio in anticipo.
"Dopo aver identificato il tipo di equazione differenziale, risolvere l'equazione y' = x y^2 e determinare l'integrale che verifica la condizione iniziale y(1) = -1 "
E' un'equazione differenziale del primo ordine e si risolve per separazione delle variabili.
In particolare:
sapendo che $y'=dy/dx$ possiamo scrivere:
$dy/dx = x*y^2$
separando, appunto, le variabili:
$dy/ y^2= x*dx$
che possiamo anche scrivere come:
$y^(-2)*dy = x*dx$
a questo punto integriamo primo e secondo membro:
$int y^(-2)*dy = intx*dx$
otteniamo :
$y^(-1)/-1 = x^2/2 + C$
che possiamo anche scrivere come :
$-1/y = x^2/2 + C$
invertendo ora entrambi i membri, e moltiplichiamoli per -1, si ottiene l'integrale generale:
$y=- 2 / (x^2 + 2C)$
Determiniamo ora il valore della costante C imponendo la condizione iniziale $y(1)=-1$ :
$- 2 /(1+2C) = -1$
da cui agevolmente si può ottenere il valore di C.
$C= 1/2$
Se ora sostituiamo nell'espressione che rappresenta l'integrale generale, otteniamo l’integrale particolare:
$y = - 2 / (x^2 + 1)$
Risposte
non ho fatto i calcoli..................
ma il metodo che usi è giusto.........................e la seguenza dei passaggi anche....
ciao
ma il metodo che usi è giusto.........................e la seguenza dei passaggi anche....
ciao
Ti ringrazio.
"quattrocchi":
ma il metodo che usi è giusto.........................e la seguenza dei passaggi anche....
ciao
Temo l'ira del boss (alias Fioravante
); ecco l'ennesimo "orango" 
Scusami, alfredo, non ti sto prendendo in giro; è solo che questo tipo di equazioni differenziali (cosiddette "a variabili separabili" hanno una storia molto complessa... soprattutto su questo forum...
). Attenzione a non abusare di tale metodo (insomma, leggere il foglietto illustrativo prima della somministrazione per evitare dosi eccessive).
Per ulteriori informazioni consultare la firma dell'utente Fioravante Patrone.
Non capisco cosa hai contro tal metodo..................ai corsi di ingegneria è spesso utilizzato, in particolar modo nei casi come quelli presentati da alfredo........
"quattrocchi":
Non capisco cosa hai contro tal metodo..................ai corsi di ingegneria è spesso utilizzato, in particolar modo nei casi come quelli presentati da alfredo........
Cosa ho io contro questo metodo? Assolutamente nulla... tant'è che ne ho preso le difese insieme a Luca Lussardi. Tuttavia bisogna riconoscere che è formalmente "traballante" (eufemismo, Fioravante?
)
si per i matematici ha questo "piccolo" difetto..............
Ma per molti aspetti è molto semplice e rapido.
Non ho capito cosa intendevi con la scritta:<< ecco l'ennesimo orango>>........
Ma per molti aspetti è molto semplice e rapido.
Non ho capito cosa intendevi con la scritta:<< ecco l'ennesimo orango>>........
"quattrocchi":
si per i matematici ha questo "piccolo" difetto..............
Ma per molti aspetti è molto semplice e rapido.
Non ho capito cosa intendevi con la scritta:<< ecco l'ennesimo orango>>........
Un po' di pubblicità per il buon Patrone (
):
Metodo urang-utang©:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
Caro paolo90, ho capito quello che intendevi per orango.
Non mi ero accorto del primo passaggio fatto da alfredo dove poneva $y'=dy/dx$..
Comunque questo passaggio ha dei problemi più logici che pratici!!!
Quindi per chiarezza d'argomento diciamo al nostro amico alfredo che la condizione da porre vista la sua equazione differanziale è:
$y'/y^2=x$, per il resto si procede per come aveva fatto alfredo...
Non mi ero accorto del primo passaggio fatto da alfredo dove poneva $y'=dy/dx$..
Comunque questo passaggio ha dei problemi più logici che pratici!!!
Quindi per chiarezza d'argomento diciamo al nostro amico alfredo che la condizione da porre vista la sua equazione differanziale è:
$y'/y^2=x$, per il resto si procede per come aveva fatto alfredo...
Oh, che peccato! Me l'ero perso, questo thread
"Fioravante Patrone":
Oh, che peccato! Me l'ero perso, questo thread
Ah, eccoti qua... mi mancavi Fioravante. Ora che c'è il boss mi sento più tranquillo.
Pol
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo