Equazione differenziale
Ragazzi chi mi aiuta a risolvere questa equazione differenziale :
dV(t)/dt=g-(b/m)V(t)
dove g è una costante . Nella risoluzione, per calcolare la C, si ponga che V(0)=0 . Grazie davvero tante a chi mi darà una mano .
dV(t)/dt=g-(b/m)V(t)
dove g è una costante . Nella risoluzione, per calcolare la C, si ponga che V(0)=0 . Grazie davvero tante a chi mi darà una mano .
Risposte
io la farei con metodo della separazione delle variabili...
basta ricordarsi di moltiplicare (quando vai ad integrare) per $-m/b$...
ciao
basta ricordarsi di moltiplicare (quando vai ad integrare) per $-m/b$...
ciao
scusami potresti essere più epilicito e risolvermela . Io ci riesco ma mi esce uno strano risultato . Se tu potessi risolverla e darmi il tuo risultato sarebbe bello . grazie
"hp6110nokia":
scusami potresti essere più epilicito e risolvermela . Io ci riesco ma mi esce uno strano risultato . Se tu potessi risolverla e darmi il tuo risultato sarebbe bello . grazie
in che senso strano?
se non sbaglio dovrebbe uscirti un $log$....
ciao
Allora, abbiamo $d/(dt) V(t)=g-b/m*V(t)$ Col metodo di separazione variabili si ottiene $int 1/(g-b/m*V) dV=int dt$ Risolviamo separatamente:
$int dt=t+C_0$, $int 1/(g-b/m*V) dV=-m/b*int(-b/m)*1/(g-b/m*V) dV=-m/b*ln|g-b/m*V|+C_1$ e raggruppiamo $C_0-C_1=C$
Moltiplicando ed elevando si ottiene $e^((t+C)*-b/m)=g-b/m V(t)$
che porta a $V(t)=(e^((t+C)*-b/m)-g)*(-m/b)=(e^((t+C)*(-b/m))-g)*(-m/b)$
Allora per V(0)=0 si ha $0=e^(-(Cb)/m)-g$ da cui $C=-lng*m/b$
L'equazione finale è $V(t)=(e^((t-lng*m/b)*(-b/m))-g)*(-m/b)=(e^(-tb/m)*g-g)(-m/b)=-gm/b*(e^(-tb/m)-1)$
Verificare che sia corretta è facile: $V(0)=0$ perché l'esponenziale è 1 e $1-1=0$ che annulla il prodotto, e si ha
$d/(dt) V(t)=-gm/b*e^(-tb/m)*-b/m=g*e^(-tb/m)$ e tale quantità è esattamente uguale a $g-b/mV(t)$.
Provaci comunque la prossima volta, non è difficile
$int dt=t+C_0$, $int 1/(g-b/m*V) dV=-m/b*int(-b/m)*1/(g-b/m*V) dV=-m/b*ln|g-b/m*V|+C_1$ e raggruppiamo $C_0-C_1=C$
Moltiplicando ed elevando si ottiene $e^((t+C)*-b/m)=g-b/m V(t)$
che porta a $V(t)=(e^((t+C)*-b/m)-g)*(-m/b)=(e^((t+C)*(-b/m))-g)*(-m/b)$
Allora per V(0)=0 si ha $0=e^(-(Cb)/m)-g$ da cui $C=-lng*m/b$
L'equazione finale è $V(t)=(e^((t-lng*m/b)*(-b/m))-g)*(-m/b)=(e^(-tb/m)*g-g)(-m/b)=-gm/b*(e^(-tb/m)-1)$
Verificare che sia corretta è facile: $V(0)=0$ perché l'esponenziale è 1 e $1-1=0$ che annulla il prodotto, e si ha
$d/(dt) V(t)=-gm/b*e^(-tb/m)*-b/m=g*e^(-tb/m)$ e tale quantità è esattamente uguale a $g-b/mV(t)$.
Provaci comunque la prossima volta, non è difficile
grazie per lo svolgimento nikilist . Mi spiegheresti come fai ad inserire i simboli matematici così bene nel messaggio . Tipo come metti il segno di integrale , come fai a scrivere le frazioni, ecc .Grazie
"hp6110nokia":
grazie per lo svolgimento nikilist . Mi spiegheresti come fai ad inserire i simboli matematici così bene nel messaggio . Tipo come metti il segno di integrale , come fai a scrivere le frazioni, ecc .Grazie
Il modo è spiegato qui.
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