Equazione differenziale
Risolvere la seguente equazione differenziale
$y^('')+y^{\prime}+y=e^t$
soddisfacente le condizioni $y^'(0)=y(0)=0
$y^('')+y^{\prime}+y=e^t$
soddisfacente le condizioni $y^'(0)=y(0)=0
Risposte
il procedimento per integrare queste equazioni consiste nel trovare l'i.g. dell'omogenea associata (poni secondo membro = 0) e poi individuare un opportuno integrale particolare da sommare a quello (generale) trovato per l'omogenea. Mi spiego meglio:
scriviamo $y''+y'+y=0$; l'equazione caratteristica è $lambda^2+lambda + 1 = 0$ che ammette come radici $lambda_(1,2)=-1/2+-isqrt3/2$; quindi l'integrale generale di quest'equazione è $y(t)= c_1e^((-1/2+isqrt3/2)t)+c_2e^((-1/2-isqrt3/2)t)$ (se vuoi scrivilo sotto forma trigonometrica, che è cosa "buona e giusta",
)
Dopodichè resta da determinare l'i.part che va sommato a quello appena trovato... soltanto un secondo... arrivo subito...
scriviamo $y''+y'+y=0$; l'equazione caratteristica è $lambda^2+lambda + 1 = 0$ che ammette come radici $lambda_(1,2)=-1/2+-isqrt3/2$; quindi l'integrale generale di quest'equazione è $y(t)= c_1e^((-1/2+isqrt3/2)t)+c_2e^((-1/2-isqrt3/2)t)$ (se vuoi scrivilo sotto forma trigonometrica, che è cosa "buona e giusta",
)Dopodichè resta da determinare l'i.part che va sommato a quello appena trovato... soltanto un secondo... arrivo subito...
eccomi di nuovo qua... per la determinazione dell'integrale particolare esistono diversi metodi... sicuramente il più "veloce" è quello che consiste nell'usare delle tabelle già compilate...in alternativa si può usare il metodo di Lagrange (variazione della costante arbitraria) per le equazioni del secondo ordine non omogenee... ne hai mai sentito parlare??
no no... moooooolto più semplice di quanto pensassi... è facile vedere che un integrale particolare è $1/3e^t$: le sue prime due derivate coincidono con $1/3e^t$ e quindi $y''+y'+y=e^t$
(infatti $1/3e^t+1/3e^t+1/3e^t=e^t$).
Ora, mi sono trovato la forma trigonometrica dell'integrale generale che è
$y(t)=e^(1/2t)(alphacos(sqrt3/2t) + betasin(sqrt3/2t))$
A questo punto sarà sufficiente aggiungere l'integrale particolare trovato $1/3e^t$, quindi
$y(t)=e^(1/2t)(alphacos(sqrt3/2t) + betasin(sqrt3/2t))+1/3e^t$
Questo è l'integrale generale dell'equazione che hai postato. Quanto alle condizioni al contorno, bè, lì con un po' di algebra coversti cavartela... sostituisci $t=0$ nella funzione trovata e (se ho fatto i conti giusti) trovi $alpha=-1/3$ e $beta = -sqrt3/3$.
$y(t)=e^(1/2t) (-1/3cos(sqrt3/2t) -sqrt3/3sin(sqrt3/2t))+1/3e^t$
Facendo la "prova" i conti tornano. Se hai ancora bisogno io sono qua. Ciao.
Paolo
(infatti $1/3e^t+1/3e^t+1/3e^t=e^t$).
Ora, mi sono trovato la forma trigonometrica dell'integrale generale che è
$y(t)=e^(1/2t)(alphacos(sqrt3/2t) + betasin(sqrt3/2t))$
A questo punto sarà sufficiente aggiungere l'integrale particolare trovato $1/3e^t$, quindi
$y(t)=e^(1/2t)(alphacos(sqrt3/2t) + betasin(sqrt3/2t))+1/3e^t$
Questo è l'integrale generale dell'equazione che hai postato. Quanto alle condizioni al contorno, bè, lì con un po' di algebra coversti cavartela... sostituisci $t=0$ nella funzione trovata e (se ho fatto i conti giusti) trovi $alpha=-1/3$ e $beta = -sqrt3/3$.
$y(t)=e^(1/2t) (-1/3cos(sqrt3/2t) -sqrt3/3sin(sqrt3/2t))+1/3e^t$
Facendo la "prova" i conti tornano. Se hai ancora bisogno io sono qua. Ciao.
Paolo
Per l'equazione dell'omogenea associata ok.
ora,il secondo membro è del tipo $P(x)*f(x)$ con $P(x)=1$ e $f(x)=e^x$
un integrale particolare sarà del tipo $phi(x)=axe^x$ con $a$ costante da determinare
$phi^{\prime}(x)=ae^x+ax*e^x,phi^('')(x)=ae^x+ae^x+ax*e^x$
sostituendo nell'espressione dell'equazione data si ha:
$3ae^x+3ax*e^x=e^x$
ma ora si ottiene l'assurdo $a=1/3$,$a=0
ora,il secondo membro è del tipo $P(x)*f(x)$ con $P(x)=1$ e $f(x)=e^x$
un integrale particolare sarà del tipo $phi(x)=axe^x$ con $a$ costante da determinare
$phi^{\prime}(x)=ae^x+ax*e^x,phi^('')(x)=ae^x+ae^x+ax*e^x$
sostituendo nell'espressione dell'equazione data si ha:
$3ae^x+3ax*e^x=e^x$
ma ora si ottiene l'assurdo $a=1/3$,$a=0
"Aeneas":
Per l'equazione dell'omogenea associata ok.
ora,il secondo membro è del tipo $P(x)*f(x)$ con $P(x)=1$ e $f(x)=e^x$
un integrale particolare sarà del tipo $phi(x)=axe^x$ con $a$ costante da determinare
e perchè scusa non posso dire $phi(x)=ae^x$ con $a$ costante da determinare?
"Paolo90":
[quote="Aeneas"]Per l'equazione dell'omogenea associata ok.
ora,il secondo membro è del tipo $P(x)*f(x)$ con $P(x)=1$ e $f(x)=e^x$
un integrale particolare sarà del tipo $phi(x)=axe^x$ con $a$ costante da determinare
e perchè scusa non posso dire $phi(x)=ae^x$ con $a$ costante da determinare?[/quote]
ok.
procedendo così dovresti trovarti la stessa funzione che ho individuato io... comunque se hai ancora dubbi posta pure... Paolo
Risolvere
$y^('')+y^{\prime}+y=chi_[[0,1]](t)*e^t
essendo $chi_[[0,1]](t)={(1,tin[0,1]),(0,t!in[0,1]):}
e $y^'(0)=y(0)=0
$y^('')+y^{\prime}+y=chi_[[0,1]](t)*e^t
essendo $chi_[[0,1]](t)={(1,tin[0,1]),(0,t!in[0,1]):}
e $y^'(0)=y(0)=0
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