Equazione differenziale
y'' + 2 y'= (e^x +1) ^-1
non riesco a trovare la soluzione particolare
help!!!!!
non riesco a trovare la soluzione particolare
help!!!!!
Risposte
help domani ho l esame
Si tratta in effetti di una brutta gatta da pelare. Guardando l'equazione si scopre che ponendo $z=y'$ essa diviene di primo grado in $z$ e pertanto esiste un formula risolvente valida in ogni caso...
$z= e^(int a(x)*dx) * [int b(x)*e^(-int a(x)*dx)*dx+c]$ (1)
... ove $a(x)= -2$ e $b(x)= 1/(1+e^x)$. L'integrale particolare si calcola ponendo nella (1) $c=0$. Integrando poi la $z(x)$ trovata si ottiene l'integrale particolare della equazione di partenza. Certo in questo caso è più facile dire che fare... sorry!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$z= e^(int a(x)*dx) * [int b(x)*e^(-int a(x)*dx)*dx+c]$ (1)
... ove $a(x)= -2$ e $b(x)= 1/(1+e^x)$. L'integrale particolare si calcola ponendo nella (1) $c=0$. Integrando poi la $z(x)$ trovata si ottiene l'integrale particolare della equazione di partenza. Certo in questo caso è più facile dire che fare... sorry!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Caro ‘collega’ [sono ingegnere anch’io… sia pure un poco ‘arrugginito’ dagli anni 
…] dal momento che hai l’esame proverò [sperando magari non sia tardi 
…] ad andare avanti nella soluzione del problema da te posto. Riscrivendo l’equazione in termini di $z=y’$ …
$z’= -2*z+ 1/(1+e^x)$ (1)
… dal momento che è lineare è possibile applicare in modo meccanico la formula risolvente…
$z= e^(int a(x)*dx) * [int b(x)*e^(-int a(x)*dx)*dx+c]$ (2)
… i cui $a(x)=-2$ e $b(x)= 1/(1+e^x)$. L’integrale particolare è dato dal valore della (2) per $c=0$. Benissimo, non resta che procedere. Evidentemente è…
$int –2*dx= -2*x$ (3)
Per il secondo integrale si attua la sostituzione $e^x=t$ per cui si ha…
$int (e^2x)/(1+e^x)*dx= int t/(1+t)*dt_(t=e^x)=$
$=int 1+1/(1+t)*dt_(t=e^x)= t-ln(1+t)_(t=e^x)=$
$= e^x-ln (1+e^x)$ (4)
L’integrale particolare della (1) sarà dunque…
$zeta(x)= e^(-2*x)*[e^x-ln(1+e^x)]= e^(-x)-e^(-2*x)*ln (1+e^x)$ (5)
Ora se si vuole un integrale particolare della equazione originaria, esso è dato da…
$phi(x)= int zeta(x)*dx$ (6)
Si potrebbe anche andare avanti calcolando l’integrale (6)… cosa che tu saprai certamente fare meglio di me
…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
…] dal momento che hai l’esame proverò [sperando magari non sia tardi …] ad andare avanti nella soluzione del problema da te posto. Riscrivendo l’equazione in termini di $z=y’$ … $z’= -2*z+ 1/(1+e^x)$ (1)
… dal momento che è lineare è possibile applicare in modo meccanico la formula risolvente…
$z= e^(int a(x)*dx) * [int b(x)*e^(-int a(x)*dx)*dx+c]$ (2)
… i cui $a(x)=-2$ e $b(x)= 1/(1+e^x)$. L’integrale particolare è dato dal valore della (2) per $c=0$. Benissimo, non resta che procedere. Evidentemente è…
$int –2*dx= -2*x$ (3)
Per il secondo integrale si attua la sostituzione $e^x=t$ per cui si ha…
$int (e^2x)/(1+e^x)*dx= int t/(1+t)*dt_(t=e^x)=$
$=int 1+1/(1+t)*dt_(t=e^x)= t-ln(1+t)_(t=e^x)=$
$= e^x-ln (1+e^x)$ (4)
L’integrale particolare della (1) sarà dunque…
$zeta(x)= e^(-2*x)*[e^x-ln(1+e^x)]= e^(-x)-e^(-2*x)*ln (1+e^x)$ (5)
Ora se si vuole un integrale particolare della equazione originaria, esso è dato da…
$phi(x)= int zeta(x)*dx$ (6)
Si potrebbe anche andare avanti calcolando l’integrale (6)… cosa che tu saprai certamente fare meglio di me
… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
grazie lupo grigio..
cmq l esame lho fatto ed è andato normale ..niente di ke. cmq l ho gia risolta l equazione
cmq l esame lho fatto ed è andato normale ..niente di ke. cmq l ho gia risolta l equazione
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