Equazione differenziale
Ancora 1 volta mi appello a voi...
come si risolve questa equazioncina?
$x''(t) - 5'(t) + 6x(t) = 6t - 5 +e^3t$
come si risolve questa equazioncina?
$x''(t) - 5'(t) + 6x(t) = 6t - 5 +e^3t$
Risposte
"Lammah":
Ancora 1 volta mi appello a voi...
come si risolve questa equazioncina?
$x''(t) - 5'(t) + 6x(t) = 6t - 5 +e^3t$
$x''(t) - 5'(t) + 6x(t) = 6t - 5 +e^(3t)$
$x(t)=x_o(t)+x_p(t)$ con $x_o(t)$ la soluzione dell'omogenea associata e $x_p(t)$ l'integrale particolare.
Il polinomio caratteristico è $lambda^2-5*lambda+6=0->lambda_1=2,lambda_2=3$ per cui
$x_o(t)=Ae^(2t)+Be^(3t)$ mentre un integrale particolare è del tipo $x_p(t)=Ct+D+E*t*e^(3t)$ con $C,D,E$ da determinare sostituendo $x_p(t)$ nell'equazione di partenza. Ora
$x'_p(t)=C+E*e^(3t)+3Et*e^(3t),x''_p(t)=3E*e^(3t)+3E*e^(3t)+9Et*e^(3t)=6E*e^(3t)+9Et*e^(3t)$ per cui sostituendo si ha:
$6E*e^(3t)+9Et*e^(3t)-5*(C+E*e^(3t)+3Et*e^(3t))+6*(Ct+D+E*t*e^(3t))=6t-5+e^(3t)$ cioè
$*e^(3t)E+(6D-5C)+6C*t=6t-5+e^(3t)$ da cui per il principio di identità dei polinomi si ha
${(E=1),(6D-5C=-5),(6C=6):}$ $<=>$ ${(E=1),(C=1),(D=0):}$ per cui $x_p(t)=t+t*e^(3t)$ da cui
$x(t)=Ae^(2t)+Be^(3t)+t+t*e^(3t)$
in pratica devo mettere $x_p(t)$ in $x''(t) - 5'(t) + 6x(t) = 6t - 5 +e^3t$ al posto di $6x(t)$?
"Lammah":
in pratica devo mettere $x_p(t)$ in $x''(t) - 5'(t) + 6x(t) = 6t - 5 +e^3t$ al posto di $6x(t)$?
ti ho risposto nel mio post sopra
grazie! ti stimo troppo 
"Lammah":
grazie! ti stimo troppo
figurati e grazie per la stima
abuso della tua pazienza...
per trovare il polinomio $Q(x)$ che hai usato per trovare la soluzione particolare come hai fatto?
in sostanza devi prendere il secondo membro dell'equazione e dargli delle variabili al posto dei coefficienti o sbaglio?
per trovare il polinomio $Q(x)$ che hai usato per trovare la soluzione particolare come hai fatto?
in sostanza devi prendere il secondo membro dell'equazione e dargli delle variabili al posto dei coefficienti o sbaglio?
"Lammah":
abuso della tua pazienza...
per trovare il polinomio $Q(x)$ che hai usato per trovare la soluzione particolare come hai fatto?
in sostanza devi prendere il secondo membro dell'equazione e dargli delle variabili al posto dei coefficienti o sbaglio?
in questo caso sì perche la soluzione a rampa, cioè la soluzione polinomio lineare del primo ordine non è soluzione dell'omogenea associata, per cui un integrale particolare è del tipo $Ct+D$. cosa diversa per $e^(3t)$. infatti $e^(3t)$ è una soluzione con molteplicità 1 dell'omogenea associata per cui un integrale particolare è del tipo $E*t*e^(3t)$
"nicola de rosa":
[quote="Lammah"]abuso della tua pazienza...
per trovare il polinomio $Q(x)$ che hai usato per trovare la soluzione particolare come hai fatto?
in sostanza devi prendere il secondo membro dell'equazione e dargli delle variabili al posto dei coefficienti o sbaglio?
in questo caso sì perche la soluzione a rampa, cioè la soluzione polinomio lineare del primo ordine non è soluzione dell'omogenea associata, per cui un integrale particolare è del tipo $Ct+D$. cosa diversa per $e^(3t)$. infatti $e^(3t)$ è una soluzione con molteplicità 1 dell'omogenea associata per cui un integrale particolare è del tipo $E*t*e^(3t)$[/quote]
okok credo di avere capito il 3 è soluzione dell'omogenea... la molteplicità è data dal fatto che è già presente nell'omogenea.. correggimi se sbaglio..
quindi ricapitolando: se non è soluzione dell'omogenea è del tipo $Ct+D$... se invece risolve si controlla la molteplicità e si risolve ponendo $t^k-1$ dove k è la molteplicità davanti a $e^k$
spero di non farfugliare cose senza senso xD
"Lammah":
[quote="nicola de rosa"][quote="Lammah"]abuso della tua pazienza...
per trovare il polinomio $Q(x)$ che hai usato per trovare la soluzione particolare come hai fatto?
in sostanza devi prendere il secondo membro dell'equazione e dargli delle variabili al posto dei coefficienti o sbaglio?
in questo caso sì perche la soluzione a rampa, cioè la soluzione polinomio lineare del primo ordine non è soluzione dell'omogenea associata, per cui un integrale particolare è del tipo $Ct+D$. cosa diversa per $e^(3t)$. infatti $e^(3t)$ è una soluzione con molteplicità 1 dell'omogenea associata per cui un integrale particolare è del tipo $E*t*e^(3t)$[/quote]
okok credo di avere capito il 3 è soluzione dell'omogenea... la molteplicità è data dal fatto che è già presente nell'omogenea.. correggimi se sbaglio..
quindi ricapitolando: se non è soluzione dell'omogenea è del tipo $Ct+D$... se invece risolve si controlla la molteplicità e si risolve ponendo $t^k-1$ dove k è la molteplicità davanti a $e^k$
spero di non farfugliare cose senza senso xD[/quote]
allora poichè il polinomio lineare del 1° ordine non è soluzione dell'omogenea associata allora un integrale particolare è del tipo $Ct+D$. se invece lo fosse stato con molteplicità $k$ allora un integrale particolare sarebbe stato del tipo
$Ct^(k+1)+Dt^k+Et^(k-1)+....+G$. questa cosa si vede per l'altro integrale $e^(3t)$ che risolve l'omogenea associata con molteplicità $k=1$ allora un integrale particolare è del tipo $E*t^k*e^(3t)=E*t*e^(3t)$
bene dovrei avere capito... è abbastanza meccanico o sbaglio?
ma la teoria la lascio dove sta xD
ma la teoria la lascio dove sta xD
"Lammah":
bene dovrei avere capito... è abbastanza meccanico o sbaglio?
ma la teoria la lascio dove sta xD
la cosa è mecanica ma riguarda la teoria perchè a volte ci sono dei termini noti più complessi per cui è bene sapere come procedere
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