Equazione differenziale
y^{}=((3x²-4xy-2x²)/(2xy-5y²))
salve ragazzi, nn riesco a inquadrare e risolvere questa equazione differenziale
qualcuno di voi mi potrebbe dare una mano?
ciao a tutti e grazie per l'attenzione..
salve ragazzi, nn riesco a inquadrare e risolvere questa equazione differenziale
qualcuno di voi mi potrebbe dare una mano?
ciao a tutti e grazie per l'attenzione..
Risposte
"ing.mecc":
y^{}=((3x²-4xy-2x²)/(2xy-5y²))
salve ragazzi, nn riesco a inquadrare e risolvere questa equazione differenziale
qualcuno di voi mi potrebbe dare una mano?
ciao a tutti e grazie per l'attenzione..
Qual è l'equazione
$y^{'}=((3y²-4xy-2x²)/(2xy-5y²))$ o $y^{'}=((3x²-4xy-2y²)/(2xy-5y²))$ o $y^{'}=((x²-4xy)/(2xy-5y²))$?
Ti risolvo l'ultima, che è quella scritta da te, le altre si risolvono allo stesso modo.
L'equazione può essere riscritta in tal modo
$y^{'}=(1-4*y/x)/(2*y/x-5(y/x)^2)$. Si fa la sostituzione $z=y/x$ da cui $y=z*x$ $->$ $y^{'}=z^{'}*x+z$ e quindi sostituendo si ha:
$z^{'}*x+z=(1-4z)/(2z-5z^2)$ $->$ $z^{'}*x=(5z^3-2z^2-4z-1)/(2z-5z^2)$ da cui
$z^{'}*(2z-5z^2)/(5z^3-2z^2-4z+1)=1/x$ cioè $z^{'}*(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+3z-1))=1/x$
Ora basta integrare al primo e secondo membro ed è fatta.
Se mi dai conferma che quella è l'equazione differenziale io proseguo, altrimenti dimmi con precisione quale è l'equazione giusta.
la prima con il termine y^2,
scusami tanto ho sbagliato io nella traccia...
scusami tanto ho sbagliato io nella traccia...
[quote=ing.mecc]la prima con il termine y^2,
scusami tanto ho sbagliato io nella traccia...[/quote
OK
$y^{'}=(3(y/x)^2-4*y/x-2)/(2*y/x-5(y/x)^2)$. Si fa la sostituzione $z=y/x$ da cui $y=z*x$ $->$ $y^{'}=z^{'}*x+z$ e quindi sostituendo si ha:
$z^{'}*x+z=(3z^2-4z-2)/(2z-5z^2)$ $->$ $z^{'}*x=(5z^3+z^2-4z-2)/(2z-5z^2)$ da cui
$z^{'}*(2z-5z^2)/(5z^3+z^2-4z-2)=1/x$ cioè $z^{'}*(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))=1/x$
Ora devi integrare. integriamo il primo membro:
$(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))=A/(z-1)+(Bz+C)/(5z^2+6z+2)$ e per il principio di identità dei polinomi troverai
${(A=-3/13),(B=-50/13),(C=-6/13):}$
per cui $(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))=-3/13*1/(z-1)-5/13(10z+6)/(5z^2+6z+2)+24/13*1/(5z^2+6z+2)=-3/13*1/(z-1)-5/13(10z+6)/(5z^2+6z+2)+24/13*1/(1/5*(1+(5z+3)^2))$=
$-3/13*1/(z-1)-5/13(10z+6)/(5z^2+6z+2)+24/13*5/((1+(5z+3)^2))$
per cui l'integrale del primo membro è
$int(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))dz=24/13*ArcTan(3+5z)-3/13*ln|z-1|-5/13*ln(5z^2+6z+2)$
Per cui in conclusione si ha:
$24/13*ArcTan(3+5z)-3/13*ln|z-1|-5/13*ln(5z^2+6z+2)=ln|x|+C$ cioè
$24/13*ArcTan(3+5y/x)-3/13*ln|y/x-1|-5/13*ln(5(y/x)^2+6*y/x+2)=ln|x|+C$
scusami tanto ho sbagliato io nella traccia...[/quote
OK
$y^{'}=(3(y/x)^2-4*y/x-2)/(2*y/x-5(y/x)^2)$. Si fa la sostituzione $z=y/x$ da cui $y=z*x$ $->$ $y^{'}=z^{'}*x+z$ e quindi sostituendo si ha:
$z^{'}*x+z=(3z^2-4z-2)/(2z-5z^2)$ $->$ $z^{'}*x=(5z^3+z^2-4z-2)/(2z-5z^2)$ da cui
$z^{'}*(2z-5z^2)/(5z^3+z^2-4z-2)=1/x$ cioè $z^{'}*(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))=1/x$
Ora devi integrare. integriamo il primo membro:
$(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))=A/(z-1)+(Bz+C)/(5z^2+6z+2)$ e per il principio di identità dei polinomi troverai
${(A=-3/13),(B=-50/13),(C=-6/13):}$
per cui $(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))=-3/13*1/(z-1)-5/13(10z+6)/(5z^2+6z+2)+24/13*1/(5z^2+6z+2)=-3/13*1/(z-1)-5/13(10z+6)/(5z^2+6z+2)+24/13*1/(1/5*(1+(5z+3)^2))$=
$-3/13*1/(z-1)-5/13(10z+6)/(5z^2+6z+2)+24/13*5/((1+(5z+3)^2))$
per cui l'integrale del primo membro è
$int(2z-5z^2)/((z-1)(5z^2+6z+2))dz=24/13*ArcTan(3+5z)-3/13*ln|z-1|-5/13*ln(5z^2+6z+2)$
Per cui in conclusione si ha:
$24/13*ArcTan(3+5z)-3/13*ln|z-1|-5/13*ln(5z^2+6z+2)=ln|x|+C$ cioè
$24/13*ArcTan(3+5y/x)-3/13*ln|y/x-1|-5/13*ln(5(y/x)^2+6*y/x+2)=ln|x|+C$
grazie, sei stato gentilissimo
io sbagliavo sempre xkè all'inizio mettevo in evidenza x e nn x^2..
io sbagliavo sempre xkè all'inizio mettevo in evidenza x e nn x^2..
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