Equazione differenziale 3° ordine non omogenea

[Webster]

Non riesco a risolvere l'equazione differenziale del terzo ordine non omogenea $ y'''+y''=3t+e^t $ Come tentativo di risoluzione,prima di tutto ho risolto l'equazione omogenea associata $ y'''+y''=0 $ come $ x^3+x^2=0 $ ottenento le radici $ 0 $ (molteplicità 2) , $ -1 $ e ottenendo quindi la soluzione $ bar(y(t))=c[1]+tc[2]+c[3]e^(-t) $ Adesso dovrei trovare una soluzione particolare da sommare a quella dell'omogenea associata per ottenere l'integrale generale,ma non riesco a capire di che tipo sia.Inoltre nell'omogenea associata compare uno dei due termini non omogenei dell'equazione di partenza,il che complica ulteriormente la risoluzione.Potete aiutarmi?


[size=75]Sposto in Analisi
Camillo[/size]

[walter891]

osservando l'equazione si nota che compaiono sommati i termini $3t$ e $e^t$ quindi puoi trovare due diverse soluzioni particolari che verranno poi sommate. La prima è un polinomio di grado 1 e la seconda un'esponenziale.
Tenendo conto che $0$ è soluzione di molteplicità 2 dell'equazione omogenea la soluzione generica è quindi $t^2(At+B)+Ce^t$

[gugo82]

Innanzitutto, prova a semplificare il problema.

La cosa più immediata da fare è porre [tex]$y^{\prime \prime} =u$[/tex] e ricondurre l'equazione completa a quella del primo ordine [tex]$u^\prime +u=3t+e^t$[/tex]; dopodiché, usando la linearità, ti accorgi che ti basta risolvere separatamente le due equazioni [tex]$v^\prime +v=3t$[/tex] e [tex]$w^\prime +w=e^t$[/tex] per ottenere [tex]$u=v+w$[/tex] come soluzione del problema ausiliario; ottenuta [tex]$u$[/tex], per risalire ad [tex]$y$[/tex] basta integrare due volte.

[Webster]

Grazie a tutti!