Equazione differenziale #3

[mobley]

L'equazione è $y'=(y^3-3x^2y)/(x^3-3xy^2)$, e la soluzione a cui arrivo $y=\sqrt(\sqrt(k/(x^8)+1)-1)$ con $k=-8c$. Il testo non da il risultato e wolframalpha restituisce valori assolutamente improponibili.

Vi chiedo quindi se è corretto.
Grazie

[pilloeffe]

Ciao mobley,

Mi pare un po' strana come soluzione, ma se la derivi e risulta uguale al secondo membro dell'equazione allora è corretta...
Osservo che l'equazione proposta è omogenea:

$y' = (y^3-3x^2y)/(x^3-3xy^2) = y/x \cdot (y^2-3x^2)/(x^2-3y^2) = y/x \cdot ((y/x)^2-3)/(1-3(y/x)^2) $

Quindi è naturale porre $t = y/x $

[mobley]

Grazie pilloeffe, sempre pronto

Dagli un'occhiata al volo:

[pilloeffe]

"mobley":Grazie pilloeffe, sempre pronto

Prego!

"mobley":Dagli un'occhiata al volo:

Eh, ti pare facile...
Una volta anch'io scrivevo in piccolo come te: i miei appunti di Elettronica quantistica erano scritti così, ma adesso faccio veramente fatica...
Comunque salvo errori integrando $ int \frac{1 - 3t^2}{4t^3 - 4t} \text{d}t $ mi risulta diversamente:

$-1/4 log|t - t^3| = log|x| + k $
$ log|t - t^3| = - logx^4 + log c $
$ log|t - t^3| = log(c/x^4) $
$ |t - t^3| = c/x^4 $
$|x^3 y - y^3 x| = c $

Quindi si tratta di una cubica rispetto a $y $, che se risolta rispetto a $y $ è probabile che dia i valori assolutamente improponibili che restituisce WolframAlpha...