Equazione differenziale
${(3y''(t) = 2y(t)+5t),(y(0)=1),(y'(0)=-5/2):}
Come la risolvo?
Come la risolvo?
Risposte
[quote=Horus]${(3y''(t) = 2y(t)+5t),(y(0)=1),(y'(0)=-5/2)}
Come la risolvo?
Come la risolvo?
Si tratta di una equzione lineare di secondo ordine omogenea [vale a dire è presente un termine noto...] e pertanto può essere risolta in maniera standard...
$3y''-2y=5t$ (1)
L'equazione caratteristica della 'non omogenea' è...
$3p^2-2=0$ (2)
... la quale ha per radici p=+/- $sqrt(2/3)$. L'integrale generale della 'non omogenea' è quindi...
$y(t)= c_1 e^(sqrt(2/3)t) + c_2 e^(-sqrt(2/3)t)$ (3)
La soluzione completa è data dalla (3) più un qualunque integrale particolare della (1). Senza stare troppo a penare si trova che $y(t)=-5/2t$ è integrale della (1). Le due 'condizioni iniziali' permettono di calcolare i valori di $c_1$ e $c_2$. Si ha infine...
$y(t)= 1/2 e^(sqrt(2/3)t) - 1/2 e^(-sqrt(2/3)t) -5/2 t$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
$3y''-2y=5t$ (1)
L'equazione caratteristica della 'non omogenea' è...
$3p^2-2=0$ (2)
... la quale ha per radici p=+/- $sqrt(2/3)$. L'integrale generale della 'non omogenea' è quindi...
$y(t)= c_1 e^(sqrt(2/3)t) + c_2 e^(-sqrt(2/3)t)$ (3)
La soluzione completa è data dalla (3) più un qualunque integrale particolare della (1). Senza stare troppo a penare si trova che $y(t)=-5/2t$ è integrale della (1). Le due 'condizioni iniziali' permettono di calcolare i valori di $c_1$ e $c_2$. Si ha infine...
$y(t)= 1/2 e^(sqrt(2/3)t) - 1/2 e^(-sqrt(2/3)t) -5/2 t$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
io ho provato a scrivere
$y(t)=-5/2t+f(t)$
da cui ottengo
$y''(t)=f''(t)$
e se $3y''(t) = 2y(t)+5t$ allora
$3f''(t)-2f(t)=0$
il problema è che se risolvo quest'ultima con la sostituzione $f(t)=e^(kt)$ ottengo $k=sqrt(2/3)$ e ciò soddisfa la prima condizione al contorno $y(0)=1$ ma non la seconda $y'(0)=-5/2$.
Proverò in qualche altro modo...
$y(t)=-5/2t+f(t)$
da cui ottengo
$y''(t)=f''(t)$
e se $3y''(t) = 2y(t)+5t$ allora
$3f''(t)-2f(t)=0$
il problema è che se risolvo quest'ultima con la sostituzione $f(t)=e^(kt)$ ottengo $k=sqrt(2/3)$ e ciò soddisfa la prima condizione al contorno $y(0)=1$ ma non la seconda $y'(0)=-5/2$.
Proverò in qualche altro modo...
Beh, non è più necessario che provi ci ha gia pensato lupo grigio.
Comunque sono contento di esserci andato vicino, adesso conosco un nuovo metodo
Comunque sono contento di esserci andato vicino, adesso conosco un nuovo metodo
Grazie per la risoluzione.
Però avrei qualche domanda (diciamo che sono alle prime armi con le differenziali):
1) L'equazione $y(t)= c_1 e^(sqrt(2/3)t) + c_2 e^(-sqrt(2/3)t)$ come hai fatto a ricavarla? E' una formula fissa?
2) Hai detto che $y(t)=-5/2t$ l'hai ottenuta integrando $3y''-2y=5t$
Mi puoi spiegare come hai fatto? Perchè ho tentato in tutti i modi e non sono riuscito ad arrivarci, a meno che non tolga 3y'' e t...
3) Le condizioni iniziali dove vanno sostituite per trovare c1 e c2?
eh eh... comincio a capirle pian piano, ma sono uscito da un istituto commerciale e questo roba è tutta nuova. Sono autodidatta
Però avrei qualche domanda (diciamo che sono alle prime armi con le differenziali):
1) L'equazione $y(t)= c_1 e^(sqrt(2/3)t) + c_2 e^(-sqrt(2/3)t)$ come hai fatto a ricavarla? E' una formula fissa?
2) Hai detto che $y(t)=-5/2t$ l'hai ottenuta integrando $3y''-2y=5t$
Mi puoi spiegare come hai fatto? Perchè ho tentato in tutti i modi e non sono riuscito ad arrivarci, a meno che non tolga 3y'' e t...
3) Le condizioni iniziali dove vanno sostituite per trovare c1 e c2?
eh eh... comincio a capirle pian piano, ma sono uscito da un istituto commerciale e questo roba è tutta nuova. Sono autodidatta
Per le equazioni lineari c'e' tutta una teoria per ricavare le soluzioni...
Le condizioni al contorno servono per determinare $c_1$ e $c_2$: infatti imponendo $y(0)=1$ e $y'(0)=-5/2$ ottieni due equazioni algebriche in $c_1$ e $c_2$...
Le condizioni al contorno servono per determinare $c_1$ e $c_2$: infatti imponendo $y(0)=1$ e $y'(0)=-5/2$ ottieni due equazioni algebriche in $c_1$ e $c_2$...
caro Horus
tempo fà ho cercato di dare una mano ad una forumista che aveva delle difficoltà con le equazioni differenziali del tipo da te segnalato. In quella occasione ho cercato di fornire una specie di 'metodo generale' per affrontarle. Il postato in questione è...
https://www.matematicamente.it/forum/top ... IC_ID=5924
Ti consiglio di provare a risolvere l'equazione da te proposta come suggerito lì e se qualcosa non dovesse essere chiaro...
cordiali saluti
lupo grigio
tempo fà ho cercato di dare una mano ad una forumista che aveva delle difficoltà con le equazioni differenziali del tipo da te segnalato. In quella occasione ho cercato di fornire una specie di 'metodo generale' per affrontarle. Il postato in questione è...
https://www.matematicamente.it/forum/top ... IC_ID=5924
Ti consiglio di provare a risolvere l'equazione da te proposta come suggerito lì e se qualcosa non dovesse essere chiaro...
cordiali saluti
lupo grigio
Magnifica questa discussione!Praticamente c'è tutto il "glossario" dell'equazione differenziale. Credo di aver capito praticamente tutto.
Adesso provo a farmi degli esercizi e se ho problemi vi posto quello che non ho ancora capito bene.
Grazie mille!
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