Equazione differenziale 2° ordine non omogenea

[Webster]

Non riesco a venire a capo della seguente equazione differenziale del secondo ordine non omogenea $ y''+4y=e^(t)+1 $ Il mio tentativo di risoluzione è il seguente: prima di tutto ho risolto l'equazione omogenea associata $ y''+4y=0 $ come $ x^(2)+4=0 $ ottenendo le radici $ 2i,-2i $ e giungendo quindi alla soluzione $ bar(y(t))=k[1]cos(2t)+k[2]sin2t $ Successivamente ho fatto variare le costanti $ y(t)=k[1](t)cos(2t)+k[2](t)sin(2t) $ ,ho calcolato la derivata prima e seconda $ y'=k'[1]cos(2t)-2k[1]sin(2t)+k'[2]sin(2t)+2k[2]cos(2t),y''=-4k'[1]sin(2t)-4k[1]cos(2t)+4k'[2]cos(2t)-4k[2]sin(2t) $ le ho sostituite nell'equazione di partenza e impostato poi il seguente sistema $ { (-4k'[1]sin(2t)+4k'[2]cos(2t)=e^(t)+1),(k'[1]cos(2t)+k'[2]sin(2t)=0):} $ Una volta trovata la soluzione,ho ottenuto $ k'[1]=-[(e^(t)+1)sin(2t)]/4,k'[2]=[(e^(t)+1)cos(2t)]/4 $ Successivamente ho integrato ottenendo $ k[1]=-[e^(t)sin(2t)]/20+[e^(t)cos(2t)]/10+[cos(2t)]/8+c[1],k'[2]=[e^(t)cos(2t)]/20+[e^(t)sin(2t)]/10+[sin(2t)]/8+c[2] $ ma risultano essere errate.Potete aiutarmi?

[VINX89]

Non ho controllato il tuo procedimento, ma ho trovato la soluzione particolare in un modo più "artigianale".
Osservando il secondo membro, si può notare che $y$ può essere del tipo:

$y=Ae^t+B$

La derivata seconda è $y''=Ae^t$, per cui, sostituendo nell'equazione, si ha:

$Ae^t + 4Ae^t + 4B = e^t + 1$

Da cui si ottiene $A=1/5$ e $B=1/4$, ovvero $y=1/5e^t + 1/4$.

Da quello che ho scritto può sembrare che io abbia avuto fortuna, ma non è così: in realtà sono partito da una soluzione molto più generale del tipo

$y=at^2e^t+bte^t+ce^t+dt^2+et+f$ e ho fatto lo stesso identico procedimento ottenendo $a=b=d=e=0$.

[Webster]

Grazie mille!