Equazione differenziale 2 ordine

[Alex_921]

Buonasera a tutti! Mi spiegate come si fa a trovare c1 e c2 ???
So farlo nei casi di ∆>0 e ∆=0 ma non capisco come si fa nel caso ∆<0 per le omogenee...

y'' + 2y' + 2y = 0
con y(0)=0
y'(0)=-2

Arrivo a trovarmi le due radici: -1 + i e -1 - i

Scrivo la formula:
y = c1 · e^-x · cosx + c2 · e^-x · senx

ma adesso come trovo c1 e c2?? Il mio libro di analisi lo spiega in ostrogoto, fatto stà che non riesco proprio a capirlo!!! xD
Graze

[Summerwind78]

Ciao

prima di tutto devo vivamente cosnigliarti di scrivere correttamente le formule altrimenti si fatica molto a capire che cosa scrivi.


venendo al tuo esercizio
le tue radici sono corrette, sei quindi di fronte a due soluzioni del tipo $lambda_(1,2)= -1 \pm i$

quindi la tua soluzione $y$ è giustamente nella forma

$y= e^(-x)(c_1 cos(x) + c_2 sin(x))$

le condizioni al contorno ti dicono che $y(0)=0$ e $y'(0) = -2$

quindi calcoliamo $y'$

$y' = e^(-x) ((c_2-c_1) cos(x) - (c_2+c_1) sin(x)) $

ora non resta che applicare le condizioni iniziali
da $y(0)=0$ hai che

$ e^(0)(c_1 cos(0) + c_2 sin(0)) = 0 \Rightarrow (c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0) = 0 \Rightarrow c_1 = 0$

da $y'(0) = -2$ hai che

$e^(0) ((c_2-c_1) cos(0) - (c_2+c_1) sin(0)) = -2 \Rightarrow (c_2-c_1) \cdot 1 - (c_2+c_1) \cdot 0 = -2 \Rightarrow c_2-c_1 = -2$
ma sai già che $c_1=0$ quindi $c_2 = -2$

spero sia tutto chiaro, se hai dubbi chiedi pure

[Alex_921]

Perfetto grazie...sei stato molto chiaro!!

[Summerwind78]

mi fa piacere

Potresti spiegarmi però quale fosse il tuo problema esattamente?
Dove trovavi delle difficoltà?

[Alex_921]

Non avevo capito il metodo per calcolare c1 e c2, alla fine si trattava solo di derivare

y=e−x(c1cos(x)+c2sin(x))

e mettere tutto a sistema ma il modo in cui era spiegato sul libro mi aveva confuso molto le idee.

[Summerwind78]

ok,
ma mi dicevi di saperlo fare nei casi $Delta \ge 0$, il procedimento è identico

Come lo facevi negli altri casi?