Equazione differenziale 2^ ordine

[kily2001]

ciao a tutti! Quali sono i passaggi per risolvere :

${(y''+4y=5sin(2x)),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$

Fino ad ora ho sempre risolto equazioni omogenee!

grazie mille

[ELWOOD1]

devi prima risolvere la caratteristica e poi passare alla particolare in questo caso goniometrica

[_Tipper]

L'omogenea si risolve allo stesso modo, e le soluzioni sono $\sin(2x)$ e $\cos(2x)$. Se indichiamo con $D^n[y]$ l'operatore di derivata $n$-esima, l'equazione completa si può riscrivere così

$(D^2 + 4)[y] = 5\sin(2x)$

Applicando a entrambi i membri l'operatore $(D^2 + 4)[y]$, e osservando che $(D^2 + 4)[5\sin(2x)] = 0$, si ottiene

$((D^2 + 4)^2)[y] = 0$

la cui equazione algebrica associata è

$(s^2 + 4)^2 = 0$

e le soluzioni sono

$s = \pm 2i " doppie"$

che equivalgono a

$\cos(2x)$, $\sin(2x)$, $x \cos(2x)$, $x \sin(2x)$


Dato al soluzione delll'omogenea è una combinazione lineare di $\cos(2x)$ e $\sin(2x)$, una soluzione particolare è data da $c_1 x \sin(2x) + c_2 x \cos(2x)$, con $c_1$ e $c_2$ da determinare.

EDIT: non avevo visto la tua risposta ELWOOD...

[kily2001]

cioe risolvo l'omogenea?

una cosa tipo:

${(Acos(2x)+Bsin(2x)=0),(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)=5sin(2x)) :}

dopo di che risolvo grazie alle condizioni iniziali?

[ELWOOD1]

io la particolare la vedrei semplicemente come $Acos(2x)+Bsen(2x)$ (non capisco il perchè di quel $4x$) derivi e sostituisci e trovi $A$ e $B$ e poi con Cauchy trovi $C_1$ e $C_2$

[ELWOOD1]

scherzavo quel $4x$ non c'è da nessuna parte

cmq fai attenzione a sostituire le derivate....non va bene come hai fatto nel sistema

[kily2001]

premetto che non sono un matematico... mi puoi far capire meglio i passaggi? nel modo + elementare possibile!

[ELWOOD1]

caratteristica: $y_(x)=C_1+C_2e^(-4x)+d(x)$

$d(x)$ è l'omogenea della forma $Acos(2x)+Bsen(2x)$

$d'(x)=-2Asen(2x)+2Bcos(2x)$

$d''(x)=-4Acos(2x)-4Bsen(2x)$

che sostituite all'eq. di partenza ti da:

$-4Acos(2x)-4Bsen(2x)+4(-2Asen(2x)+2Bcos(2x))=5sen(2x)$

raccogliendo hai:
$(-4B-8A)sen(2x)+(8B-4A)cos(2x)=5sen(2x)$

ora eguagli i coefficienti tra il membro di sinistra e quello di destra:
${[-4B-8A=5],[8B-4A=0]:}

ti ricavi $A=-1/2$ e $B=-1/4$

la tua soluzione generale diventa quindi:
$y_(x)=C_1+C_2e^(-4x)-1/2cos(2x)-1/4sen(2x)$

ora dovresti essere in grado di andare avanti,derivi questa e inserisci i dati di Cauchy trovandoti $C_1$ e $C_2$.....

ps:nemmeno io sono un matematico.....quindi controlla bene che non abbia fatto errori di calcoli

[kily2001]

grazie mille!

[kily2001]

come ricavi la caratteristica $C1+C2e^(-4x)+d(x)$ ?

$d(x)$ so ricavarmela ma il resto come si trova?

thanks!

[ELWOOD1]

la caratteristica è $k^2+4k=0$ da cui ${[k_1=0],[k_2=-4]:}$ quindi $y_(x)=C_1e^0+C_2e^(-4x)$ e^0 è 1....

[_Tipper]

Scusa se mi intrometto... ma perché $k^2 + 4k$?

[ELWOOD1]

"Tipper":Scusa se mi intrometto... ma perché $k^2 + 4k$?

aaazzzz.....hai ragione Tipper!!!!che scemo non ho visto ke era una normale $y$
allora diventa un pò più lunghetta del normale

[ELWOOD1]

la caratteristica sarà:

$y_(x)=x(C_1cos(2x)+C_2sen(2x))$

la particolare dovrebbe essere giusta salvo errori di calcolo...

[kily2001]

non capisco cosa è sbagliato nei procedimenti di prima e cosa no: una volta arrivati a $y_(x)=C_1cos(2x)+C_2sen(2x)$ cosa si fa? va drivata per 2 volte?

[ELWOOD1]

ti chiedo innanzi tutto scusa perchè ho interpretato male la caratteristica...

quella giusta è quella ke ho postato prima $y_(x)=x(C_1cos(2x)+C_2sen(2x))+d(x)$
hai capito perchè?Tipper l'ha descritto molto bene sopra nel testo nascosto)

poi a questo punto si, derivi e inserisci i dati di Cauchy....

[_Tipper]

"ELWOOD":... e inserisci i dati di Cauchy....

Nome: Augustin-Louis

Cognome: Cauchy

Luogo di nascita: Parigi

Data di nascita: 21-08-1789

...

[ELWOOD1]

"Tipper":[quote="ELWOOD"]... e inserisci i dati di Cauchy....

Nome: Augustin-Louis

Cognome: Cauchy

Luogo di nascita: Parigi

Data di nascita: 21-08-1789

... [/quote]

[kily2001]

ho provato a risolverla, a me viene $y(x)=0$ è possibile?

In caso posto tutto il procedimento.