Equazione differenziale
trovare la soluzione dell'equazione differenziale:
$yprimeprime+yprime=2e^(-x)-1$
1)$y(x)=e^(-x)+e^(x)-1$
2)$y(x)=(2-2x)e^(-x)-x$
3)$y(x)=x+x^2e^(-x)+1$
4) $ xe^(-x)+3cos(x)+5sen(x)$
pensavo di risolverla considerando
$lambda^2$+$lambda=0$
non sono molto convinto che sia il metodo di risoluzione corretto
come devo procedere?
Grazie
$yprimeprime+yprime=2e^(-x)-1$
1)$y(x)=e^(-x)+e^(x)-1$
2)$y(x)=(2-2x)e^(-x)-x$
3)$y(x)=x+x^2e^(-x)+1$
4) $ xe^(-x)+3cos(x)+5sen(x)$
pensavo di risolverla considerando
$lambda^2$+$lambda=0$
non sono molto convinto che sia il metodo di risoluzione corretto
come devo procedere?
Grazie
Risposte
Scusa cri98, ma non ti sembra ci sia qualcosa che non va nella domanda? Anzi, nelle risposte?
Da dove l'hai presa?
Da dove l'hai presa?
ciao gugo82,
grazie, ho modificato il messaggio.
il mio libro di testo non riporta nemmeno un esempio di questo tipo.
non è un equazione lineare del primo ordine della forma $yprime=p(x)y=q(x)$
non è un'equazione differenziale a variabili separabili della forma$ f(y)yprime=g(x)$
non è un equazioni di Manfredi della forma $yprime=g(y/x)$
non è un'equazione differenziale di Bernoulli della forma $yprime+p(x)y=q(x)y^(alfa)$
potrei considerare una sostituzione
ponendo $z=yprime$
ottengo $zprime+z=2e^(-x)-1$
è corretto?come proseguo?
Grazie!
grazie, ho modificato il messaggio.
il mio libro di testo non riporta nemmeno un esempio di questo tipo.
non è un equazione lineare del primo ordine della forma $yprime=p(x)y=q(x)$
non è un'equazione differenziale a variabili separabili della forma$ f(y)yprime=g(x)$
non è un equazioni di Manfredi della forma $yprime=g(y/x)$
non è un'equazione differenziale di Bernoulli della forma $yprime+p(x)y=q(x)y^(alfa)$
potrei considerare una sostituzione
ponendo $z=yprime$
ottengo $zprime+z=2e^(-x)-1$
è corretto?come proseguo?
Grazie!
Ciao cri98,
Scusa cri98, ma la domanda mi sorge spontanea: che razza di libro di testo hai?
Si tratta di una normalissima EDO lineare del secondo ordine, che diventa del primo in $z$ con la posizione $z = y' $ che hai già proposto...
La soluzione finale è la seguente:
$y(x) = e^{-x}(c_1 - 2x) + c_2 - x $
Corrisponde alla risposta 2) se $c_1 = 2 $ e $c_2 = 0 $.
"cri98":
il mio libro di testo non riporta nemmeno un esempio di questo tipo.
Scusa cri98, ma la domanda mi sorge spontanea: che razza di libro di testo hai?
Si tratta di una normalissima EDO lineare del secondo ordine, che diventa del primo in $z$ con la posizione $z = y' $ che hai già proposto...
La soluzione finale è la seguente:
$y(x) = e^{-x}(c_1 - 2x) + c_2 - x $
Corrisponde alla risposta 2) se $c_1 = 2 $ e $c_2 = 0 $.
ciao pilloeffe
allora sostituendo yprime=z
ottengo
$zprime+z=2e^(-x)-1$
considero l'equazione differenziale a variabili separabili
$dz/dy=(2e^(-x)-1-z)$
$z dz=2e^(-x)-1 dx$
$int z dz=2int(e^(-x)-1) dx$
$z^2/2=-2e^-x+c_1-x+c_2$
in questo caso ottengo:
$z^2=-4e^-x+2c_1-2x+2c_2$
$z=sqrt(-4e^-x+2c_1-2x+2c_2)$
è correttovlo svolgimento? come proseguo per raggiungere il tuo risultato?
grazie
allora sostituendo yprime=z
ottengo
$zprime+z=2e^(-x)-1$
considero l'equazione differenziale a variabili separabili
$dz/dy=(2e^(-x)-1-z)$
$z dz=2e^(-x)-1 dx$
$int z dz=2int(e^(-x)-1) dx$
$z^2/2=-2e^-x+c_1-x+c_2$
in questo caso ottengo:
$z^2=-4e^-x+2c_1-2x+2c_2$
$z=sqrt(-4e^-x+2c_1-2x+2c_2)$
è correttovlo svolgimento? come proseguo per raggiungere il tuo risultato?
grazie
"cri98":
è corretto lo svolgimento?
No. Non si capisce cosa stai facendo... Scusami se te lo dico, ma si ha come l'impressione che tu faccia tentativi a casaccio, giusto per far vedere che ci hai provato, ma senza convinzione e soprattutto senza consapevolezza di ciò che stai facendo...
$ z(x) = y'(x) $, per cui l'equazione differenziale diventa la seguente:
$ z'(x) + z(x) = 2e^(-x)-1 $
Quest'ultima è del tipo che hai citato (male) seguente:
"cri98":
è un equazione lineare del primo ordine della forma $y' + p(x)y = q(x) $
ove nel tuo caso hai $z $ al posto di $y$, $p(x) = 1 $ e $q(x) = 2e^(-x)-1 $
Ora, non mi hai risposto in merito al libro di testo che stai usando, ma mi rifiuto di credere che in tale testo non sia riportata neanche la formula di risoluzione di questo tipo di equazioni differenziali...
Una volta trovata $z(x) $, la integri e troverai $y(x) $
Ma poi @cri98 mi sento sempre di farti lo stesso discorso: quando puoi verificare, verifica.
Le equazioni differenziali sono equazioni (e fin qui...), quindi la/le soluzione/i che trovi deve/devono portare ad un'uguaglianza tra il membro di sinistra ed il membro di destra; quindi, finiti i conti, sostituisci la/le soluzione/i nell'equazione differenziale di partenza e vedi se viene un'uguaglianza.
La soluzione è $y(x)=c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x$, sono sicuro che sia corretta? Sì, infatti guarda che succede se la sostituisco nell'equazione differenziale:
$$\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} (c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x)+\frac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x)=2e^{-x}-1$$
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} (-c_1e^{-x}-2e^{-x}+2xe^{-x}-1)-c_1e^{-x}-2e^{-x}+2xe^{-x}-1=2e^{-x}-1$$
$$c_1e^{-x}+2e^{-x}+2e^{-x}-2xe^{-x}-c_1e^{-x}-2e^{-x}+2xe^{-x}-1=2e^{-x}-1$$
$$0=0$$
Quindi è verificata, perciò quando trovi quella che ti sembra essere una soluzione dell'equazione differenziale puoi sempre sostituire e verificare che effettivamente lo sia.
Puoi fare questa verifica a casa da solo/a, al bar, al mare, durante l'esame (consiglio caldamente) oppure in uno scenario post-apocalittico in cui sei l'unico umano sopravvissuto sul pianeta.
Le equazioni differenziali sono equazioni (e fin qui...), quindi la/le soluzione/i che trovi deve/devono portare ad un'uguaglianza tra il membro di sinistra ed il membro di destra; quindi, finiti i conti, sostituisci la/le soluzione/i nell'equazione differenziale di partenza e vedi se viene un'uguaglianza.
La soluzione è $y(x)=c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x$, sono sicuro che sia corretta? Sì, infatti guarda che succede se la sostituisco nell'equazione differenziale:
$$\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} (c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x)+\frac{\text{d}}{\text{d}x} (c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x)=2e^{-x}-1$$
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} (-c_1e^{-x}-2e^{-x}+2xe^{-x}-1)-c_1e^{-x}-2e^{-x}+2xe^{-x}-1=2e^{-x}-1$$
$$c_1e^{-x}+2e^{-x}+2e^{-x}-2xe^{-x}-c_1e^{-x}-2e^{-x}+2xe^{-x}-1=2e^{-x}-1$$
$$0=0$$
Quindi è verificata, perciò quando trovi quella che ti sembra essere una soluzione dell'equazione differenziale puoi sempre sostituire e verificare che effettivamente lo sia.
Puoi fare questa verifica a casa da solo/a, al bar, al mare, durante l'esame (consiglio caldamente) oppure in uno scenario post-apocalittico in cui sei l'unico umano sopravvissuto sul pianeta.
ciao ragazzi!
grazie per i vostri consigli.
il libro di testo analisi 2 Giuseppe Anichini
ho provato a risolvere:
$ z'(x) + z(x) = 2e^(-x)-1 $
applico $ y' + p(x)y = q(x) $ (questa pilloeffe nel mio libro di testo c'è)
formula risolutiva:
$y(x)=e^(-p(x))(intq(x)e^(p(x))dx+c)$
p(x)= 1 P(x)=$int1=x$
$y(x)=e^(-p(x))(intq(x)e^(p(x)dx+c)=e^(-x)int(2e^(-x)-1)e^(x)dx+c=e^(-x)(2x-e^(x)+c)=2xe^(-x)-1+ce^(-x)$
a questo punto integro nuovamente ed ottengo:
$2intxe^(-x)dx-int1dx+cinte^(-x)dx$
$-2e^(-x)-2e^(-x)+2c-x+ce^(-x)$
dove sto sbagliando?
grazie Mephilip per il consiglio sulla verifica dell'equazione.
grazie per i vostri consigli.
il libro di testo analisi 2 Giuseppe Anichini
ho provato a risolvere:
$ z'(x) + z(x) = 2e^(-x)-1 $
applico $ y' + p(x)y = q(x) $ (questa pilloeffe nel mio libro di testo c'è)
formula risolutiva:
$y(x)=e^(-p(x))(intq(x)e^(p(x))dx+c)$
p(x)= 1 P(x)=$int1=x$
$y(x)=e^(-p(x))(intq(x)e^(p(x)dx+c)=e^(-x)int(2e^(-x)-1)e^(x)dx+c=e^(-x)(2x-e^(x)+c)=2xe^(-x)-1+ce^(-x)$
a questo punto integro nuovamente ed ottengo:
$2intxe^(-x)dx-int1dx+cinte^(-x)dx$
$-2e^(-x)-2e^(-x)+2c-x+ce^(-x)$
dove sto sbagliando?
grazie Mephilip per il consiglio sulla verifica dell'equazione.
Perché sei così sicura di star sbagliando?
ciao gugo,
perchè Mephilip ottiene:$ y(x)=c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x $
mentre io ottengo: $ -2e^(-x)-2e^(-x)+2c-x+ce^(-x) $
grazie
perchè Mephilip ottiene:$ y(x)=c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x $
mentre io ottengo: $ -2e^(-x)-2e^(-x)+2c-x+ce^(-x) $
grazie
"cri98":
applico $y'+p(x)y=q(x) $ (questa pilloeffe nel mio libro di testo c'è)
formula risolutiva:
$y(x)=e^(-p(x))(intq(x)e^(p(x))dx+c) $
A parte il fatto che o c'è un errore di stampa sul tuo libro di testo o l'hai riportata male perché all'esponente del primo $e$ c'è $-\int p(x) \text{d}x $, mentre all'esponente dell'$e$ sotto il segno di integrale c'è $ \int p(x) \text{d}x $, se hai studiato un minimo l'argomento "Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO)" dovresti sapere che nella soluzione di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine deve comparire una costante ($c_1$), nella soluzione di un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine devono comparire due costanti ($c_1 $ e $ c_2$, che non sono necessariamente uguali...), in una del terzo ordine tre costanti ($c_1$, $c_2 $ e $c_3$) e così via...
"cri98":
ciao gugo,
perchè Mephilip ottiene:$ y(x)=c_1e^{-x}+c_2-2xe^{-x}-x $
mentre io ottengo: $ -2e^(-x)-2e^(-x)+2c-x+ce^(-x) $
grazie
Che sono esattamente la stessa cosa o, per meglio dire, la tua soluzione è parte della famiglia individuata da Mephilip.
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