Equazione differenziale
Ho provato a svolgere questo esercizio:
$ { ( u''-2u'+5u=e^t ),( u'(0)=1 ),( u(0)=0 ):} $
Comincio risolvendo l'omogenea, qui senza problemi trovo che il pol. caratt. è
$lambda^2-2lambda+5=0$, $lambda=1+-2i$ perciò
$u_0=c_1e^tcos2t+c_2e^tsen2t$. Non riesco però a trovarmi con il risultato di wolframalpha per quanto riguarda la particolare:
$y_p=x^nue^betax[P(x)cosgammax+Q(x)sengammax]$
Io avevo pensato che, considerando $beta+gammai$, ho $f(x)=e^t$, perciò $beta=1$, $gamma=0$, la molteplicità è $nu=1$, il polinomio che accompagna $e^t$ ha grado $0$, ottengo $y_p=Ae^t$, derivando e andando a sostituire ottengo
$Ae^t-2Ae^t+5Ae^t=e^t$ per cui $A=1/4$
Soluzione generale $u(t)=c_1e^tcos2t+c_2e^tsen2t+1/4e^t$, tutt'altro risultato..
Ho provato anche con il metodo di variazione delle costanti ma anche qui ottengo un'altra cosa:
$ { (c'_1e^tcos2t+c'_2e^tsen2t=0 ),( c'_1e^tcos2t+c'_2e^tsen2t=e^t ):} $ $ { (c'_1=c'_2(sen(2t))/cos(2t)),( c'_2=1/2 ):} $
$ c_2=int -1/2tg2x=1/4 log(cos(2 x)) $ e $ c_1=1/2t $
Come si svolge correttamente?
$ { ( u''-2u'+5u=e^t ),( u'(0)=1 ),( u(0)=0 ):} $
Comincio risolvendo l'omogenea, qui senza problemi trovo che il pol. caratt. è
$lambda^2-2lambda+5=0$, $lambda=1+-2i$ perciò
$u_0=c_1e^tcos2t+c_2e^tsen2t$. Non riesco però a trovarmi con il risultato di wolframalpha per quanto riguarda la particolare:
$y_p=x^nue^betax[P(x)cosgammax+Q(x)sengammax]$
Io avevo pensato che, considerando $beta+gammai$, ho $f(x)=e^t$, perciò $beta=1$, $gamma=0$, la molteplicità è $nu=1$, il polinomio che accompagna $e^t$ ha grado $0$, ottengo $y_p=Ae^t$, derivando e andando a sostituire ottengo
$Ae^t-2Ae^t+5Ae^t=e^t$ per cui $A=1/4$
Soluzione generale $u(t)=c_1e^tcos2t+c_2e^tsen2t+1/4e^t$, tutt'altro risultato..
Ho provato anche con il metodo di variazione delle costanti ma anche qui ottengo un'altra cosa:
$ { (c'_1e^tcos2t+c'_2e^tsen2t=0 ),( c'_1e^tcos2t+c'_2e^tsen2t=e^t ):} $ $ { (c'_1=c'_2(sen(2t))/cos(2t)),( c'_2=1/2 ):} $
$ c_2=int -1/2tg2x=1/4 log(cos(2 x)) $ e $ c_1=1/2t $
Come si svolge correttamente?
Risposte
Onestamente credo sia corretta. Viene anche a me il tuo stesso risultato: soluzione omogenea $ e^x(c_1cos2x+c_2sin2x) $ e soluzione particolare $ 1/4e^x $, essendo $f(x)=p(x)e^(alphax)$. Credo sia solo una riscrittura della soluzione.
Non dimenticare di risolvere il PdC con $c_1=-1/4$ e $c_2=1/2$.
Non dimenticare di risolvere il PdC con $c_1=-1/4$ e $c_2=1/2$.
Non chiedere a Wolfram Alpha di risolvere l'equazione! Chiedigli di calcolare $u''-2u'+5u$, dove $u(t)$ è la soluzione che hai trovato. Se trovi $e^t$, è corretto. Altrimenti è sbagliato.
Fai MOLTO prima che a venire a chiedere su un forum ed è una cosa molto istruttiva.
Fai MOLTO prima che a venire a chiedere su un forum ed è una cosa molto istruttiva.
Ciao Valchiria,
Procedendo proprio come suggerito da dissonance, la tua soluzione particolare $u_p(t) = 1/4 e^t $ funziona, infatti sostituendo si ha:
$ 1/4 e^t - 1/2 e^t + 5/4 e^t = 1/4 e^t - 2/4 e^t + 5/4 e^t = e^t $
D'altronde funziona anche quella proposta da WolframAlpha $u_p(t) = 1/2 e^t cos^2 t $, infatti sostituendo si ha:
$ e^t (sin^2 t - 1/2 cos^2 t - 2 sin t cos t) - e^t (cos^2 t - 2 sin t cos t) + 5/2 e^t cos^2 t = e^t (sin^2 t + cos^2 t) = e^t $
Procedendo proprio come suggerito da dissonance, la tua soluzione particolare $u_p(t) = 1/4 e^t $ funziona, infatti sostituendo si ha:
$ 1/4 e^t - 1/2 e^t + 5/4 e^t = 1/4 e^t - 2/4 e^t + 5/4 e^t = e^t $
D'altronde funziona anche quella proposta da WolframAlpha $u_p(t) = 1/2 e^t cos^2 t $, infatti sostituendo si ha:
$ e^t (sin^2 t - 1/2 cos^2 t - 2 sin t cos t) - e^t (cos^2 t - 2 sin t cos t) + 5/2 e^t cos^2 t = e^t (sin^2 t + cos^2 t) = e^t $
Capito, grazie
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