Equazione Differenziale
Salve a tutti,
circa questo eserczio:
$ { ( y'=(1-y)(2-y)x ),( y(0)=3 ):} $
Per prima cosa risolvo la prima e come risultati ottengo a colpo d'occhio $y=1$ e $y=2$ ed in seguito $ y(x)=(ce^(x^2/2)-2)/(ce^(x^2/2)-1) $.
Risolvendo il problema di Cauchy:
$ y(x)=(e^(x^2/2)-4)/(e^(x^2/2)-2) $ .
Quello che non capisco è questo: le soluzioni dell'equazione sono tutte e tre (e credo proprio di si) oppure solo l'ultima? Graficamente non riesco a capire cosa succede in quanto le tre funzioni sono tanto differenti tra loro..
Ha a che fare con il discorso delle freccie da seguire nel grafico circa le infinite soluzioni??
Grazie!
circa questo eserczio:
$ { ( y'=(1-y)(2-y)x ),( y(0)=3 ):} $
Per prima cosa risolvo la prima e come risultati ottengo a colpo d'occhio $y=1$ e $y=2$ ed in seguito $ y(x)=(ce^(x^2/2)-2)/(ce^(x^2/2)-1) $.
Risolvendo il problema di Cauchy:
$ y(x)=(e^(x^2/2)-4)/(e^(x^2/2)-2) $ .
Quello che non capisco è questo: le soluzioni dell'equazione sono tutte e tre (e credo proprio di si) oppure solo l'ultima? Graficamente non riesco a capire cosa succede in quanto le tre funzioni sono tanto differenti tra loro..
Ha a che fare con il discorso delle freccie da seguire nel grafico circa le infinite soluzioni??
Grazie!
Risposte
$y=1 ^^ y=2$ non sono soluzioni del problema di Cauchy in quanto $ y(0)=0!=3 $
la seconda è la soluzione dell'equazione differenziale e basta, non risolve il problema di Cuachy. la terza infine è quella corretta (a meno di errori di conto che non ho fatto).
i problemi di Cauchy comunque è dimostrabile che hanno una ed una sola soluzione, quindi comunque tutte e tre non erano!
la seconda è la soluzione dell'equazione differenziale e basta, non risolve il problema di Cuachy. la terza infine è quella corretta (a meno di errori di conto che non ho fatto).
i problemi di Cauchy comunque è dimostrabile che hanno una ed una sola soluzione, quindi comunque tutte e tre non erano!
Aldilà del problema di Cauchy, prendendo in esame solo la prima equazione le soluzioni generali sono tre oppure solo l'ultima?
Sia $1$ che $2$ mi generano comunque una indentità..
Sia $1$ che $2$ mi generano comunque una indentità..
a questo punto se cosideri solo l'equazione differenziale e non il problema di Cauchy hai che $y=1 ^^ y=2 $ sono soluzioni costanti, la terza non ha più senso ma la seconda ha infinite soluzioni al variare di $c in RR$.
Quindi tecnicamente le soluzioni sarebbero $y=1$ e $y=(ce^(x^2/2)−2)/(ce^(x^2/2)−1)$ perchè con $c=0$ mi trovo anche la soluzione $y=2$.
Insomma la funzione con la costante $c$ mi serve per costruire tutte le infinite soluzioni (non particolari) giusto?
Insomma la funzione con la costante $c$ mi serve per costruire tutte le infinite soluzioni (non particolari) giusto?
esatto!
Grazie!!
figurati ! 
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