Equazione differenziale
Ciao ragazzi, ho svolto questo problema di Cauchy. Per favore potete dirmi se il risultato è corretto?
$y'(x)=((3x)/(x+1)^2)y(x)$
$y(0)=1$
La porto in forma normale $y'(x)-((3x)/(x+1)^2)y(x)=0$
Eseguo i calcoli
$\int_0^x((-3x)/(x+1)^2)dx$ e viene fuori $-3(ln(2x)+(1/(2x)) - ln(x) -(1/x))$ che valutato tra 0 e 1 diventa
$-3(ln(2)-(1/(2x)))$
Quindi la soluzione finale è $e^(3*ln(2)-(3/(2x)))$
Tuttavia questa soluzione è differente da quella che mi propone Wolf
È una traccia d'esame, quindi non so nemmeno il risultato
Grazie
$y'(x)=((3x)/(x+1)^2)y(x)$
$y(0)=1$
La porto in forma normale $y'(x)-((3x)/(x+1)^2)y(x)=0$
Eseguo i calcoli
$\int_0^x((-3x)/(x+1)^2)dx$ e viene fuori $-3(ln(2x)+(1/(2x)) - ln(x) -(1/x))$ che valutato tra 0 e 1 diventa
$-3(ln(2)-(1/(2x)))$
Quindi la soluzione finale è $e^(3*ln(2)-(3/(2x)))$
Tuttavia questa soluzione è differente da quella che mi propone Wolf
È una traccia d'esame, quindi non so nemmeno il risultato
Grazie
Risposte
$frac{y'(x)}{y(x)}=frac{3x}{(x+1)^2}$
$\int_0^x frac{y'(t)}{y(t)} dt=\int_0^x frac{3t}{(t+1)^2} dt$
$\int_1^y frac{1}{w} dw=\int_0^x frac{3t}{(t+1)^2} dt$
$[log w]_1^y=3*[1/(t+1)+log(t+1)]_0^x$
$log y- log 1=3*[1/(x+1)+log(x+1)-1]$
$log y=3*[1/(x+1)+log(x+1)-1]$
$y=e^{3*[1/(x+1)+log(x+1)-1]}$
$\int_0^x frac{y'(t)}{y(t)} dt=\int_0^x frac{3t}{(t+1)^2} dt$
$\int_1^y frac{1}{w} dw=\int_0^x frac{3t}{(t+1)^2} dt$
$[log w]_1^y=3*[1/(t+1)+log(t+1)]_0^x$
$log y- log 1=3*[1/(x+1)+log(x+1)-1]$
$log y=3*[1/(x+1)+log(x+1)-1]$
$y=e^{3*[1/(x+1)+log(x+1)-1]}$
Ciao kobeilprofeta, grazie per la risposta!!
Però non ho capito perché la tratti così.
Il mio svolgimento è completamente sbagliato nella logica? Oppure ho sbagliato qualche calcolo?
Ho considerato $y(t)=e^(-A(t))[(y_0)+int_{t_0}^{t}g(s)*e^(A(s))ds]$
Considerando la condizione del problema di Cauchy come $y(t_0)=y_0$
E $A(t)=int_{t_0}^{t}a_0(s)ds$
Però non ho capito perché la tratti così.
Il mio svolgimento è completamente sbagliato nella logica? Oppure ho sbagliato qualche calcolo?
Ho considerato $y(t)=e^(-A(t))[(y_0)+int_{t_0}^{t}g(s)*e^(A(s))ds]$
Considerando la condizione del problema di Cauchy come $y(t_0)=y_0$
E $A(t)=int_{t_0}^{t}a_0(s)ds$
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Sai cosa sono?
Sai cosa sono?
Certo, ma posso risolverla anche come equazione differenziale del primo ordine omogenea ?? Così come ho fatto..
Ragazzi, per favore, qualcuno può rispondermi?
si volendo potresti svolgerla come equazione differenziale omogenea ma è decisamente più scomodo e corri il rischio di fare più errori. comunque hai sbagliato a calcolare il primo integrale:
$ int_(0)^(x) (-3t)/(t+1)^2 dt = int_(0)^(x) (-3t+1-1)/(t+1)^2 dt =-3 [ int_(0)^(x) (t+1)/(t+1)^2 dt - int_(0)^(x) (1)/(t+1)^2 dt] = -3 [ int_(0)^(x) 1/(t+1) dt - int_(0)^(x) (1)/(t+1)^2 dt] $
e adesso risolvi i due semplici integrali definiti. ricordati poi i cambiare segno al tutto perchè è -A(x).
$ int_(0)^(x) (-3t)/(t+1)^2 dt = int_(0)^(x) (-3t+1-1)/(t+1)^2 dt =-3 [ int_(0)^(x) (t+1)/(t+1)^2 dt - int_(0)^(x) (1)/(t+1)^2 dt] = -3 [ int_(0)^(x) 1/(t+1) dt - int_(0)^(x) (1)/(t+1)^2 dt] $
e adesso risolvi i due semplici integrali definiti. ricordati poi i cambiare segno al tutto perchè è -A(x).
Grazie cooper 
Che sciocchezza !!!
Che sciocchezza !!!
Ma quando porti fuori il -3 stai facendo giusto?
non nel passaggio che ho fatto scusa! avrei dovuto farlo come secondo passaggio:
$ int_(0)^(x) (-3t)/(t+1)^2 dt = -3 int_(0)^(x) (t)/(t+1)^2 dt $ e dopo aggiungi e togli 1 come fatto prima.
grazie kobeilprofeta!
$ int_(0)^(x) (-3t)/(t+1)^2 dt = -3 int_(0)^(x) (t)/(t+1)^2 dt $ e dopo aggiungi e togli 1 come fatto prima.
grazie kobeilprofeta!
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