Equazione differenziale

[lattore]

mi potete aiutare nella risoluzione di questa equazione differenziale?
$y^{\prime}+2xy=x$ considerando che $a(x)=2x$ e quindi $A(x)=x^2$ $y(x)=e^(x^2)inte^(-x^2)xdx=>y(x)=2^(x^2)(-1/2)int-2xe^(-x^2)=>y(x)=-1/2e^(-x^2)2^(x^2)+c$

[anto_zoolander]

$y(x)e^(x^2)=intxe^(x^2)dx$

$y(x)=e^(-x^2)[1/2e^(x^2)+c]$

$y_c(x)=1/2+c*e^(-x^2)$

Il mio pensiero è che cerchi in tutti i modi di applicare la formula...

$y(x)=e^(-A(x))[intb(x)e^(A(x))dx+c]$

... impunemente. Ci sono casi, come quello che hai postato in precenza, su cui bisogna ragionare. Non è nemmeno detto che possa essere sempre utilizzata questa formula, poiché richiede che sia scritta in questa forma canonica. Inoltre nelle eq. differenziali, la costante assume un ruolo importantissimo, mentre secondo me la aggiungi alla fine.

[lattore]

e perchè in questo caso non si può applicare? c'è la a(x) e c'è una b(x), inoltre $y^{\prime}$ è solo

[anto_zoolander]

Si può applicare, ma devi saperla applicare. Cioè devi sapere 'come si arriva a questo', cosicché se ti dovesse capitare un imprevisto, sapresti aggirare il problema.

"unassoluto":$ A(x)=x^2 $ $ y(x)=e^(x^2)inte^(-x^2)xdx=>y(x)=2^(x^2)(-1/2)int-2xe^(-x^2)$

Hai giustamente calcolato $A(x)$ ma poi sbagli mettendo $y(x)=e^(A(x))[...]$
Questo perché la formula prevede che sia, come scritto prima:

$y(x)=e^(-A(x))[intb(x)e^(A(x))dx+c]$

e non $y(x)=e^(A(x))[intb(x)e^(A(x))dx+c]$

Inoltre nota che la costante è messa dentro la parentesi e quindi dovrai moltiplicarla per $e^(-A(x))$

$y(x)=e^(-A(x))intb(x)e^(A(x))dx+c*e^(-A(x))$

questa sarebbe un po' la soluzione finale. Ti consiglio di guardare tutto il procedimento con il quale si arriva a quella formula, se dovessi averne bisogno, fammi sapere.

Ti consiglio inoltre di ripassare un po' di teoria sugli integrali. Presumo tu sia all'università per scrivere quasi sempre quì, dunque dovresti rinforzare molto le basi

[lattore]

io sapevo che il primo esponenziale fosse elevato alla A(x) e quello all'interno dell'integrale alla(-A(x))

[Palliit]

Scusa, ma perchè non la risolvi per variabili separabili?

[anto_zoolander]

"Palliit":Scusa, ma perchè non la risolvi per variabili separabili?

Secondo me poi si impelaga nella discussione finale.

[Palliit]

"anto_zoolander":Secondo me poi si impelaga nella discussione finale.

Non mi sembra così problematica: dopo aver considerato l'integrale singolare $" "y=1/2" "$ hai:

$y'=x(1-2y)" "to" "(2y')/(2y-1)=-2x" "to" "ln|2y-1|=-x^2+A" "to" "2y-1=Be^(-x^2)$

( con $B=+-e^A$ ) da cui:

$y=Ce^(-x^2)+1/2$

con $C=1/2B" "$ oppure $" "C=0" "$ per includere nelle soluzioni l'integrale singolare di cui sopra.

Direi che è solo questione di gusti.

[Magma1]

"unassoluto":io sapevo che il primo esponenziale fosse elevato alla A(x) e quello all'interno dell'integrale alla(-A(x))

Giusto per completezza, se:

$y'(x)=a(x)y(x)+f(x)$ $rArr y(x)=e^(A(x))[inte^(-A(x))f(x)dx+c] $


$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$ $rArr y(x)=e^(-A(x))[inte^(A(x))f(x)dx+c] $