Equazione differenziale

[rrr93]

Ciao ragazzi! Avrei bisogno di una mano con questa equazione differenziale.
Chiede anche di determinare l'insieme in cui esistono soluzioni e le eventuali soluzioni costanti dell'equazione
$y'(x)=2*x/[y(x)]$
e di risolvere il problema di Cauchy
$y'(x)=2*x/[y(x)] $
$y(1)=-3$
definendo il dominio di esistenza dell'unica soluzione. Grazie

[quantunquemente]

qual è il problema ?
è una semplice equazione a variabili separabili

[mdonatie]

$\{(y'(x)=2(x)/(y(x))),(y(1)=-3):}$

cominciamo nello studiare l'equazione differenziale, lasciando a dopo la soluzione del problema di Cauchy:

$\(dy)/(dx)=2(x)/(y) \rightarrow y dy=2x dx \rightarrow \int y dy=2\int x dx \rightarrow y=sqrt(2x^2 + c)$

determinato ciò possiamo decidere di esplicitare la costante di integrazione per la soluzione al problema di Cauchy:

$\{(c=y^2 -2x^2),(y(1)=-3):} \rightarrow {(c=7),(y(1)=-3):}$

La soluzione di Cauchy sarà la seguente $y=sqrt(2x^2 +7)$ per determinare il campo di esistenza basta studiare l'esistenza di $y(x)$ ovvero $2x^2 +7 >=0$

[rrr93]

"quantunquemente":qual è il problema ?
è una semplice equazione a variabili separabili

Mi ha confuso il fatto che c'è y(x) e non y. Pensavo che integrando y(x) in dy no sarebbe stato corretto srivere $y^(2)/2$

[mdonatie]

Si si correttissimo, ho solamente velocizzato il calcolo moltiplicando per 2 ambo i membri e facendo la radice di ciascuno di essi, spero sia sottinteso che le soluzioni sono $+- y(x)$