Equazione differenziale

[Silente91]

Ragazzi avrei bisogno di una mano con questa equazione differenziale . Ho provato a svolgerla ma non sono sicuro che sia corretta. Purtroppo , nonostante il prof. abbia spiegato in modo superficiale le eq. differenziali , nel compito di analisi II vengono richieste . Grazie in anticipo! Vi allego l'esercizio svolto .

[Gi81]

L'equazione differenziale è $y''(t) +(y'(t))/(t^(1/2)) = -1/(t^(1/2))$

Si vede subito quale può essere una soluzione particolare: $y_0(t)= -t$
infatti si ha $y_0'(t)= -1$ e $y''(t)=0$, e quindi l'equazione differenziale è verificata da $y_0(t)$.

Per completare il tutto, ci basta risolvere l'omogenea associata:
$y''(t) +(y'(t))/(t^(1/2))=0$, che possiamo riscrivere così: $(y''(t))/(y'(t))= -1/t^(1/2)$

A primo membro abbiamo $(y''(t))/(y'(t))$, che è la derivata di $log(y'(t))$.
A secondo membro abbiamo $ -1/t^(1/2)$, cioè $- t^(-1/2)$. Una sua primitiva è $-2 t^(1/2)$.


Quindi, integrando entrambi i membri, si ha $log(y'(t))= -2 t^(1/2)+c$.
Applico l'esponenziale ad entrambi i membri: $e^(log(y'(t)))= e^(-2 t^(1/2)+c_1)$, da cui $y'(t)=e^(c_1) * e^(-2sqrt(t))$

Si ha $int e^(-2sqrt(t)) dt = -1/2 e^(-2sqrt(t)) * (2sqrt(t)+1)+k$

Facendo la sostituzione $u= 2 sqrt(t)$, si ha $t=u^2/4$, da cui $dt = u/2 du$
Quindi l'integrale diventa $int u/2 e^(-u) du= 1/2 int u e^(-u) du$
Integrando per parti si ottiene
$1/2 *{-u e^(-u) +int e^(-u) du }= 1/2 *{-u e^(-u) -e^(-u) +c_2 }= -1/2 e^(-u) *(u+1) +k= -1/2 e^(-2sqrt(t)) * (2sqrt(t)+1)+k$

Quindi abbiamo $y(t)= e^(c_1)*[ -1/2 e^(-2sqrt(t)) * (2sqrt(t)+1)+k]$. Scrivendo meglio si ha
$y(t)= a_1 *e^(-2sqrt(t)) * (sqrt(t)+1/2) +a_2$, con $a_1, a_2 in RR$


Quindi la soluzione dell'equazione differenziale è $ a_1 *e^(-2sqrt(t)) * (sqrt(t)+1/2) +a_2 -t$

[Silente91]

Sembra abbastanza difficile in base alla mia preparazione Provo a rifare l'esercizio seguendo i tuoi passaggi.

Ti ringrazio sei stato gentilissimo ! ti tengo aggiornato!