Equazione differenziale

[andros1]

Buonasera,
devo risolvere questo problema di cauchy:
$\{(y''+y=(y')^2),(y(0)=1/2),(y'(0)=1):}$
dove l'equazione è autonoma quindi posto $z(y)=y'(t)$ ottengo
$\{(z'z+y=z^2),(z(1/2)=1):}$
che DOVREBBE essere di bernulli ma da qui nonso proprio come procedere....aiutatemi

[Raam]

Ciao.

Un'equazione di Bernoulli la puoi trasformare in un'equazione lineare, attraverso il seguente cambio di variabili, nel tuo caso:
$$w=z^2 \\
w'=2z'z$$

L'equazione diventa:

$$ \frac{1}{2}w'+y=w$$

Et voilà, questa è [strike]magia[/strike] matematica.

[andros1]

Quindi sarebbe
$z(y) =sqrt( c_1 e^(2 y)+y+1/2)$
E dalle condizioni iniziali $y' =sqrt( 2e^(2y-1)+y+1/2)$
Si potrebbe esplicitare y ?

[Raam]

Perché hai ottenuto quella roba?

$z(y)$ è giusta; applicando la condizione iniziale $z(1/2)=1$, ottieni $c_1=0$ e quindi la funzione diventa:
$$z(y)=\pm\sqrt{y+\frac{1}{2}}$$

Ricordando che $z=y'$ arrivi finalmente a:

$$y'=\pm\sqrt{y+\frac{1}{2}}$$

che è integrabile per variabili separabili (tenendo conto delle condizioni di esistenza).