Equazione differenziale

[manu911]

salve a tutti avrei un esercizio riguardante le equazioni differenziali che non ho ben capito... mi potete dare una mano??


"considerare il seguente problema di Cauchy:
$\{(y''+|y|=0),(y(0)=1),(y(0)=0):}$
1)riscrivere questa equazione mediante un sistema del primo ordine equivalente
2)dire se in questo caso si applica il teorema di esistenza ed unicità
3)sia y la soluzione, valutare $\lim_{t \to \infty}y(t)$ senza calcolare la soluzione esplicita

mi potete aiutare sul punto 1 e 3? per il secondo punto bene o male sono riuscito a dare una risposta decente:)

grazie mille a tutti per l'aiuto

[stormy1]

il sistema di primo ordine equivalente è il seguente
$ { ( z=y' ),( z'+|y|=0 ),( y(0)=1
),( z(0)=0 ):} $

mettiamoci nel riferimento cartesiano $yOz$
le soluzioni $y(t);z(t)$ del sistema possono essere viste come le soluzioni di una traiettoria($t$ è il tempo)
osservando le equazioni del sistema e le condizioni iniziali,scrivendo in particolare la seconda equazione in questo modo:$z'=-|y|$,si può dire che la traiettoria comincia dal punto $(1,0)$ e che
$ lim_(t -> +infty) y(t)=-infty;lim_(t-> +infty) z(t)=-infty $

[dissonance]

@stormy: Vabbé, ma ti pare una buona risposta questa? Già la domanda lascia a desiderare, una traccia di esercizio copiata senza uno straccio di idea. Tu rispondi cosi'... Che cosa puo' imparare l'OP da una discussione del genere?

Lo sappiamo già che sei bravo a risolvere gli esercizi. Ora, se vuoi, prova ad aiutare veramente gli altri e non a rifilar loro la pappa pronta.

[manu911]

grazie mille per la risposta... potresti pero spiegarmi a cosa corrisponde il "sistema equivalente del primo ordine"?
cioe in attravverso alcune "uguaglianze" la trasformo in un equazione di primo ordine? dimmi se ho capito bene

[stormy1]

antidoping per dissonance
francamente mi sembra una risposta molto chiara

[manu911]

chiedevo conferma

[stormy1]

sì,introducendo una seconda funzione z,ottieni un sistema di equazioni differenziali del primo ordine

@ dissonance
ma poi ,pensandoci bene,chi cavolo sei per ergerti a giudice ?

[dissonance]

"stormy":antidoping per dissonance ...

@ dissonance
ma poi ,pensandoci bene,chi cavolo sei per ergerti a giudice ?

Vedo che ti piace la polemica. Io non sono il giudice di nessuno, ma su un punto c'è una critica formale che ti voglio muovere. Qui c'è un regolamento e sia la domanda dell'OP sia la tua risposta lo violano. Questo forum non è né un posto dove la gente viene a farsi fare gli esercizi per casa né un posto dove si viene a fare ginnastica risolvendo gli esercizi agli altri. Qui si viene a discutere di matematica, a insegnare e a imparare.

1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.

[...]

1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.

Nello specifico, in questo esercizio non hai neanche spiegato come sei arrivato al risultato. Quel limite, ad esempio, come lo hai calcolato? Ho notato questo modo di fare anche in altri tuoi post, ed è per questo che sono intervenuto. Penso veramente che tu sia bravo a fare gli esercizi, ma penso anche che potresti migliorare molto andando più in profondità nei tuoi post e facendo una matematica più di idee che di procedure meccaniche. Se farai cosi' ne guadagnerà anche il forum.

Ma naturalmente questa ultima parte è solo un suggerimento personale.

[stormy1]

se fai un giro per il forum vedrai che sono ben altri quelli che risolvono l'esercizio da cima a fondo
come hai ben potuto notare io non ho detto come sono arrivato al risultato proprio perchè deve arrivarci l'utente con il suggerimento che ho dato: condizioni iniziali,$z=y';z'=-|y|$

[manu911]

scusate se apro di nuovo questa discussione...
nella seconda domanda, se si puo' applicare il teorema di esistenza e unicita, io l'ho applicato all'equazione di partenza, se invece lo si applica al sistema equivalente di primo ordine si "perde" qualcosa?

[dissonance]

Rispondo al volo: come hai dimostrato il teorema di esistenza e unicità? Di solito per equazioni di ordine superiore al primo la tecnica è quella di trasformare prima in un sistema di equazioni del primo ordine, passare alla formulazione integrale eccetera. Quindi anche se uno applica il teorema ad una equazione di ordine alto, in realtà sta silenziosamente passando ad un sistema di equazioni del primo ordine.

[manu911]

per il teorema di esistenza e unicita è valido perche il valore assoluto è una funzione lipchitziana ed è una condizione per dire che il teorema è valido... spero che la risposta sia giusta:)

[manu911]

potresti spiegarmi anche il limite? perchè continuo a non capire come si procede

[dissonance]

La risposta è valida o no a seconda di quanto è pignolo l'esaminatore. Dipende da come è stato enunciato il teorema di esistenza è unicità. Se è stato enunciato per equazioni di ordine qualsiasi, allora va più o meno bene (certo, potresti spendere qualche parola in più, specificando che in queste condizioni hai l'esistenza globale e non solo locale). Se invece è stato enunciato solo per sistemi del primo ordine, allora devi ragionare sul sistema e dimostrare che il suo membro destro è una funzione Lipschitziana a valori vettoriali. Questo è un fatto molto semplice, ma qualcuno lo deve fare.

Quanto al limite, anche a me non sembra ovvio, bisogna ragionarci un po'. Non ho francamente capito come ha fatto stormy a concludere così al volo, se passerà di qua forse ce lo potrebbe spiegare lui. Spero che non si arrabbi, non vuole essere né una critica né tantomeno una provocazione, sono veramente curioso di sapere come ha fatto.

[gugo82]

Non è che ci voglia la zingara[nota]Libero adattamento da una nota canzone popolare napoletana.[/nota] per risolvere esplicitamente il PdC assegnato, eh...

Ad ogni modo, se l'esistenza globale è assicurata, allora la soluzione è ovunque concava (come mai?) dunque non può far altro che andare a \(-\infty\) quanto \(x\to \infty\).

[stormy1]

@dissonance
no tranquillo,non mi arrabbio
anzi scusa per come mi sono rivolto a te l'altra volta
mi sono reso conto che devo fare un bagno di umiltà

il mio ragionamento è stato questo (magari non è rigoroso):
essendo $z'=-|y|$ la z comincia a decrescere e a diventare negativa (condizioni iniziali)al variare di $t$:ma essendo $y'=z$ anche la y comincia a decrescere al variare di $t$ e ciò avviene per ogni $t$
l'esistenza globale permette di arrivare poi alla conclusione

[gugo82]

"gugo82":Non è che ci voglia la zingara per risolvere esplicitamente il PdC assegnato, eh...

Facendo un piccolo studio qualitativo, si vede che l'integrale massimale \(y(x;0,1,0)\) è una funzione ovunque strettamente concava e dunque strettamente decrescente a destra di \(0\) e strettamente crescente a sinistra di tale punto.
Dopo \(0\) esiste certamente un unico punto \(x_0\) tale che \(y(x;0,1,0)>0\) [risp. \(=0\), \(<0\)] per \(0\leq xx_0\)].
Inoltre, non è difficile rendersi conto che \(y(x;0,1,0)\) è una funzione pari, sicché basta guardare cosa accade in \([0,\infty[\).

Sapendo che \(y(x;0,1,0)\geq 0\) per \(x\in [0,x_0]\), in tale intervallo \(y(\cdot ;0,1,0)\) soddisfa il PdC:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime}(x) + y(x)=0\\
y(0)=1\\
y^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
quindi si ha:
\[
y(x;0,1,0) = \cos x\qquad \text{, per } 0\leq x\leq x_0\; ;
\]
da ciò, in particolare, segue che \(x_0=\pi/2\).
In \(x_0\) si ha evidentemente \(y^\prime (x_0;0,1,0)=-1\) e dopo \(x_0\) la \(y(\cdot;0,1,0)\) è negativa; pertanto essa soddisfa il PdC:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime}(x) - y(x)=0\\
y(\frac{\pi}{2})=0\\
y^\prime (\frac{\pi}{2})=-1
\end{cases}
\]
dunque:
\[
y(x;0,1,0) = -\frac{1}{2}\ e^{x-\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}\ e^{\frac{\pi}{2}-x}\qquad \text{, per } \frac{\pi}{2}\leq x\; .
\]
Conseguentemente, vista anche la parità della soluzione, si trova:
\[
y(x;0,1,0) = \begin{cases} -\frac{1}{2}\ e^{-x-\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}\ e^{\frac{\pi}{2}+x} &\text{, se } x\leq -\frac{\pi}{2}\\
\cos x &\text{, se } -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\\
-\frac{1}{2}\ e^{x-\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2}\ e^{\frac{\pi}{2}-x} &\text{, se } x\geq \frac{\pi}{2}\; .
\end{cases}
\]
[asvg]ymin=-8; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; plot("cos(x)",-1.571,1.571);
stroke="blue"; plot("-0.5*exp(x-1.571)+0.5*exp(1.571-x)",1.571,6);
stroke="purple"; plot("-0.5*exp(-x-1.571)+0.5*exp(1.571+x)",-6,-1.571);[/asvg]
Di qui si vede subito che:
\[
\lim_{x\to \infty} y(x;0,1,0) =-\infty\; .
\]

[stormy1]

ovviamente è tutto giusto quello che hai scritto
però il testo dell'esercizio ci ha diffidato dal trovare la soluzione esplicita
io mi sono attenuto alla consegna anche se rileggendo la richiesta mi accorgo di averlo fatto solo a metà : non ho valutato
cosa succede per $t rarr -infty$ e mi sono concentrato solo sulle $t>0$
vabbè,rimedio adesso : ragionando in maniera analoga a quanto fatto prima ,si ha che per $t<0$ la z è positiva e decresce,mentre la y cresce
essendo la soluzione globale,$ lim_(t -> -infty)y(t)=-infty;lim_(t -> -infty)z(t)=+infty $