Equazione differenziale

[fede161]

ciao ragazzi,

sto risolvendo questa equazione differenziale $ dot(x) = -alphax + e^-t $ con condizione iniziale $ x(0) = x_0 $

Ho innanzitutto trovato l'equazione dell'omogenea associata, e poi ho risolto l'equazione con il temine forzante.
Il risultato che mi viene è

$ x(t) = x_0 e^(-alphat)+ e^-t/(alpha-1 $ (che poi è anche il risultato che mi viene con wolfram aplha!!)

Solo che la soluzione dell'esercizio è diversa, il libro dice che viene

$ x(t) = x_0 e^(-alphat)+ (e^-t -e^(-alphat)) /(alpha-1 $

e anche a un mio amico viene così !!

Dove ho sbagliato? Vi ringrazio per la risposta

[Sk_Anonymous]

La soluzione generale dell'equazione $dot{x}+p(x)x=q(t)$ con le condizioni: $x(0)=x_o$ è:
$x=e^{-int _0^{t} p(t)dt} [x_o +int_0^{t}q(t)e^{int _0^{t} p(t)dt}dt]$
Per la tua equazione si ha $p(t)=alpha, q(t)=e^{-t}, x(0)=x_o$ e dunque:
$x=e^{-int _0^{t} alpha dt} [x_o +int_0^{t} e^{-t} e^{int _0^{t} alphadt}dt]=e^{-alpha t}[x_o + int_o^t e^{-t}e^{alpha t} dt ]=e^{-alpha t}[x_o +int_o^t e^{(alpha-1)t}dt]=$
$=e^{-alpha t}[x_o +{e^{(alpha-1)t}/{a-1}}_o^t]=e^{-alpha t}[{e^{(alpha-1)t}-1}/{alpha-1}]={e^{-t}-e^{-alpha t}}/{alpha-1}$
Q.E.D.