Equazione differenziale

[manu911]

salve a tutti
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere un equazione differenziale...

$y''(x)=max (0,y+y^3)$
$y(0)=-3$
$y'(0)=0$

e devo dire quanto vale $y(1)$
le possibili soluzioni sono: $y(1)=1$, $y(1)=-1$, $y(1)=1$, $y(1)=-2$ $y(1)-2$ e "nessuna di queste"

il fatto è che il prof ha detto che c'e un trucco per risolvere subito questo esercizio...
mi sapete dire qual è questo trucco?

[gugo82]

Prima di concentrarti sui trucchi, perché non provi a risolvere la EDO?

[manu911]

l'ho risolta, anche quando ho dovuto risolvere la parte in cui risulta
$y''(x)=y+y^3$ non ci sono riuscito e infatti ho usato wolframalpha

[gugo82]

Va bene... Ed allora secondo te com'è fatta la soluzione del tuo PdC?

[manu911]

per il primo tratto mi risulta $y(x)=-3$

[gugo82]

Ok. E questo "tratto" dove comincia? Dove finisce?

In altre parole, qual è l'intervallo più grande in cui la soluzione massimale del PdC assegnato conserva l'espressione analitica \(y(x) = -3\)?

[manu911]

sarebbe il tratto per cui vale $0>=y+y^3$
si può sostiturie a $y$ il suo valore trovato come soluzione?
perche se è cosi risulta $0<=30$ quindi il primo tratto vale per tutto $RR$?

[gugo82]

Certo.

Infatti, nota che il tuo PdC può essere riscritto in maniera canonica come PdC per un sistema del primo ordine introducendo la nuova incognita \(p(x):=y^\prime (x)\) come segue:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
y^\prime (x) = p(x)\\
p^\prime (x) = \max \left\{ 0, y(x) + y^3(x) \right\}\\
y(0) = -3\\
p(0) = 0\; ;
\end{cases}
\]
la funzione a secondo membro:
\[
\mathbf{f} (x,y,p) := \left( p, \max \{ 0, y+y^3\} \right)
\]
è localmente lipschitziana, dunque il PdC (1) ha soluzione massimale unica; dato che la funzione costante:
\[
\big( y(x) , p(x)\big) := (-3,0)
\]
è soluzione locale del PdC (1) ed è definita in tutto \(\mathbb{R}\), essa è la soluzione massimale di (1).
Conseguentemente, la funzione costante \(y(x):=-3\) è la soluzione massimale del PdC assegnato e perciò \(y(1)=-3\).