Equazione differenziale:
Buongiorno a tutti, sono alle prese con tale Equazione differenziale:
$y''+6y'+9y=4e^x$ del tipo $y''+ya_1 +a_0 y= g(x)$
Innanzitutto mi calcolo la soluzione dell'omogenea associata, ovvero:
$x^2+6x+9=0$ che ha come soluzioni:
$x_{1},x_{2}=-3$ ed ottengo:
$y_1=e^(-3x)c1$ $ y_2=xe^(-3x)c2 $
poi procedo con quella particolare. Noto che la mia g(x) al secondo membro è un caso particolare$(e^(tx)*P(x))$ ed essendo t una non soluzione per l'equazione omogenea ottengo:
$y=e^(tx)Q(x)$ ovvero:
$y=e^(-3x) * 4$
quindi la soluzione finale sarà:
$e^(-3x)c1+xe^(-3x)c2 + e^(-3x) * 4 $, però non mi trovo sull'ultima parte, sulla soluzione caratteristica... Mi porta che deve essere
$(e^(x))/(4)$... perchè ?dove sbaglio?
$y''+6y'+9y=4e^x$ del tipo $y''+ya_1 +a_0 y= g(x)$
Innanzitutto mi calcolo la soluzione dell'omogenea associata, ovvero:
$x^2+6x+9=0$ che ha come soluzioni:
$x_{1},x_{2}=-3$ ed ottengo:
$y_1=e^(-3x)c1$ $ y_2=xe^(-3x)c2 $
poi procedo con quella particolare. Noto che la mia g(x) al secondo membro è un caso particolare$(e^(tx)*P(x))$ ed essendo t una non soluzione per l'equazione omogenea ottengo:
$y=e^(tx)Q(x)$ ovvero:
$y=e^(-3x) * 4$
quindi la soluzione finale sarà:
$e^(-3x)c1+xe^(-3x)c2 + e^(-3x) * 4 $, però non mi trovo sull'ultima parte, sulla soluzione caratteristica... Mi porta che deve essere
$(e^(x))/(4)$... perchè ?dove sbaglio?
Risposte
hai sbagliato a calcolare la soluzione particolare, quella giusta è $y_p=1/4e^x$
Puoi farmi vedere come la calcoli tu per piacere? Non riesco io
hai notato giustamente che siamo nel caso $P(x)e^(tx)$ in cui $t=1$ e il polinomio degenera in una costante quindi scriviamo $ce^x$, le sue derivate sono ovviamente identiche a se stessa quindi ottengo l'equazione
$ce^x+6ce^x+9ce^x=4e^x$ da cui si ricava $c=1/4$
$ce^x+6ce^x+9ce^x=4e^x$ da cui si ricava $c=1/4$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo