Equazione differenziale
mi potete aiutare con questo esercizio?
"si consideri la seguetne equazione:
$(dely)/(delt)= min(t,1)(2-y)$
determinare se esiste un numero $lambda$ in modo che la soluzione $y(t)$ dell'equazione con dato iniziale $y(t)= lambda$ sia costante"
mi potete dire come procedere?
secondo me bisogna risolvere l'equazione differenziale e poi vedere dove si annulla
pero non sono sicuro del mio ragionamente
"si consideri la seguetne equazione:
$(dely)/(delt)= min(t,1)(2-y)$
determinare se esiste un numero $lambda$ in modo che la soluzione $y(t)$ dell'equazione con dato iniziale $y(t)= lambda$ sia costante"
mi potete dire come procedere?
secondo me bisogna risolvere l'equazione differenziale e poi vedere dove si annulla
pero non sono sicuro del mio ragionamente
Risposte
Ma $y$ dipende solo da $t$ o anche da qualche altro parametro?
ho copiato il testo alla lettera... comunque si credo che dipenda solo da t
L'equazione, scritta bene, è:
\[
y^\prime (t) = \min \{1,t\}\ \big( 2-y(t)\big)\; ,
\]
ed è già in forma normale, i.e. \(y^\prime (t) =f(t,y(t))\).
Per quanto riguarda l'esistenza di soluzioni costanti, dette anche soluzioni stazionarie, ti chiedo: qual è una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione del tipo \(y(t)=y_0\) sia soluzione della EDO \(y^\prime (t)=f(t,y(t))\)?
\[
y^\prime (t) = \min \{1,t\}\ \big( 2-y(t)\big)\; ,
\]
ed è già in forma normale, i.e. \(y^\prime (t) =f(t,y(t))\).
Per quanto riguarda l'esistenza di soluzioni costanti, dette anche soluzioni stazionarie, ti chiedo: qual è una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione del tipo \(y(t)=y_0\) sia soluzione della EDO \(y^\prime (t)=f(t,y(t))\)?
$y(t)$ deve essere continua in un intorno di $t_0$ e derivabile
Beh, mi pare che ogni funzione costante sia continua già di suo, no?
Non vedo questo cosa c'entri con il fatto che tale funzione possa essere la soluzione di una EDO...
Ad esempio, perché \(y(t)=1\) è soluzione di \(y^{\prime} (t)=y^2(t)-1\)?
Non vedo questo cosa c'entri con il fatto che tale funzione possa essere la soluzione di una EDO...
Ad esempio, perché \(y(t)=1\) è soluzione di \(y^{\prime} (t)=y^2(t)-1\)?
e poi deve essere $y'(t)=0$ possibile?
Ogni funzione costante ha derivata nulla... Quindi ciò come c'entra con la EDO?
$2-y(t)=0$ e quindi $y(t)=0$
insomma $lambda=2$?
insomma $lambda=2$?
Certo.
In generale, la funzione costante \(y(t)=y_0\) è soluzione della EDO \(y^\prime (t)=f\big( t,y(t)\big)\) se e solo se \(f(t,y_0)=0\) per ogni \(t\) in un intervallo.
Quindi le soluzioni stazionarie di una EDO si trovano in corrispondenza dei valori di \(y\) che annullano il secondo membro della EDO per valori della variabile \(t\) appartenenti a qualche intervallo.
Nel caso a variabili separabili, i.e. nel caso \(y^\prime (t)=f(t) g\big( y(t)\big)\), è chiaro che le soluzioni stazionarie corrispondono semplicemente agli zeri di \(g\); quindi in tal caso \(y(t)=y_0\) risolve la EDO se e solo se \(g(y_0)=0\).
In generale, la funzione costante \(y(t)=y_0\) è soluzione della EDO \(y^\prime (t)=f\big( t,y(t)\big)\) se e solo se \(f(t,y_0)=0\) per ogni \(t\) in un intervallo.
Quindi le soluzioni stazionarie di una EDO si trovano in corrispondenza dei valori di \(y\) che annullano il secondo membro della EDO per valori della variabile \(t\) appartenenti a qualche intervallo.
Nel caso a variabili separabili, i.e. nel caso \(y^\prime (t)=f(t) g\big( y(t)\big)\), è chiaro che le soluzioni stazionarie corrispondono semplicemente agli zeri di \(g\); quindi in tal caso \(y(t)=y_0\) risolve la EDO se e solo se \(g(y_0)=0\).
grazie mille_D
un ultima domanda sempre se posso...
nello stesso esercizio mi chiede di calcolare $\lim_{t \to \infty} y(t)$ con dato iniziale $y(0)=5$ senza calcolare esplicitamente la soluzione
come dovrei fare? e in generale come si calcolano i limiti con le equazioni differenziali?
è un argomento che non ho proprio capito
grazie ancora
un ultima domanda sempre se posso...
nello stesso esercizio mi chiede di calcolare $\lim_{t \to \infty} y(t)$ con dato iniziale $y(0)=5$ senza calcolare esplicitamente la soluzione
come dovrei fare? e in generale come si calcolano i limiti con le equazioni differenziali?
è un argomento che non ho proprio capito
grazie ancora
Dovresti fare uno studio qualitativo, oppure cercare di minorare/maggiorare (o anche trovare una buona espansione asintotica del)la soluzione del tuo problema di Cauchy.
Quindi non c'è una tecnica generale, ma si deve procedere caso per caso con tecniche ad hoc.
Nel tuo caso, ti conviene studiare la monotonia della soluzione massimale del PdC e vedere cosa puoi trarre da questa informazione.
Quindi non c'è una tecnica generale, ma si deve procedere caso per caso con tecniche ad hoc.
Nel tuo caso, ti conviene studiare la monotonia della soluzione massimale del PdC e vedere cosa puoi trarre da questa informazione.
si puo dire questo:
"si parte da 5 e la derivata risulta negativa (per t>0) , quindi il grafico della funzione "scende". Più scende più il termine (2−y) diventa piccolo (in modulo).
Quindi la derivata pur rimanendo negativa si riduce sempre di più, il grafico si appiattisce e la funzione tende a 2 asintoticamente" ?
"si parte da 5 e la derivata risulta negativa (per t>0) , quindi il grafico della funzione "scende". Più scende più il termine (2−y) diventa piccolo (in modulo).
Quindi la derivata pur rimanendo negativa si riduce sempre di più, il grafico si appiattisce e la funzione tende a 2 asintoticamente" ?
Sì, l'idea è quella... Ma devi formalizzarla meglio.
Innanzitutto, il PdC:
\[
\begin{cases} y^\prime (t) =\min \{1,t\}\ \big( 2-y(t)\big)\\
y(0)=5
\end{cases}
\]
ha soluzione locale unica (perché il secondo membro soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale).
D'altro canto, il secondo membro soddisfa una stima del tipo \(|f(t,y)|\leq A(t)+ B(t) |y|\) con \(A,B\geq 0\), ergo la soluzione locale può essere prolungata a tutto \(\mathbb{R}\).
Chiamiamo \(y(t)\) la soluzione così prolungata.
La \(y (t)\) non può assumere il valore \(2\): infatti, se per assurdo esistesse un \(t_0\) tale che \(y(t_0)=2\), allora per il teorema di esistenza ed unicità dovrebbe aversi \(y(t)=2\) ovunque, contro il fatto che \(y(0)=5\).
Di conseguenza o è sempre \(y(t)>2\) oppure è sempre \(y(t)<2\); dato che \(y(0)=5>2\), si verifica certamente la prima eventualità, cioé \(y(t)>2\).
Conseguentemente per \(t\geq 0\) è \(\min \{ 1,t\}\ (2-y(t))\leq 0\), e ciò implica \(y^\prime (t)<0\) di modo che \(y(t)\) è decrescente per \(t\geq 0\).
Il teorema di regolarità per le funzioni monotone implica che esiste il \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} y(t)\); dato che \(2\leq y(t)\leq 5\) per \(t\geq 0\), detto \(l\) il valore del limite precedente si ha \(2\leq l\leq 5\).
Il teorema dell'asintoto implica che \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} y^\prime (t)=0\) e ciò accade solo se \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \min \{ 1,t\}\ (2-y(t)) =0\); ma quest'ultima cosa certamente non può accadare se \(l\neq 2\), pertanto l'unica alternativa possibile è:
\[
\lim_{x\to \infty} y(t) =2\; .
\]
Innanzitutto, il PdC:
\[
\begin{cases} y^\prime (t) =\min \{1,t\}\ \big( 2-y(t)\big)\\
y(0)=5
\end{cases}
\]
ha soluzione locale unica (perché il secondo membro soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale).
D'altro canto, il secondo membro soddisfa una stima del tipo \(|f(t,y)|\leq A(t)+ B(t) |y|\) con \(A,B\geq 0\), ergo la soluzione locale può essere prolungata a tutto \(\mathbb{R}\).
Chiamiamo \(y(t)\) la soluzione così prolungata.
La \(y (t)\) non può assumere il valore \(2\): infatti, se per assurdo esistesse un \(t_0\) tale che \(y(t_0)=2\), allora per il teorema di esistenza ed unicità dovrebbe aversi \(y(t)=2\) ovunque, contro il fatto che \(y(0)=5\).
Di conseguenza o è sempre \(y(t)>2\) oppure è sempre \(y(t)<2\); dato che \(y(0)=5>2\), si verifica certamente la prima eventualità, cioé \(y(t)>2\).
Conseguentemente per \(t\geq 0\) è \(\min \{ 1,t\}\ (2-y(t))\leq 0\), e ciò implica \(y^\prime (t)<0\) di modo che \(y(t)\) è decrescente per \(t\geq 0\).
Il teorema di regolarità per le funzioni monotone implica che esiste il \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} y(t)\); dato che \(2\leq y(t)\leq 5\) per \(t\geq 0\), detto \(l\) il valore del limite precedente si ha \(2\leq l\leq 5\).
Il teorema dell'asintoto implica che \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} y^\prime (t)=0\) e ciò accade solo se \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \min \{ 1,t\}\ (2-y(t)) =0\); ma quest'ultima cosa certamente non può accadare se \(l\neq 2\), pertanto l'unica alternativa possibile è:
\[
\lim_{x\to \infty} y(t) =2\; .
\]
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