Equazione differenziale
ciao!mi aiutate a trovare dove sbaglio?
devo calcolare gli $\alpha in RR$ t.c. le soluzioni di
$\{(y'=y^2+2y+\alpha),(y(0)=1):}$
sono definite su $RR$
ho problemi per valutare il caso $\alpha=1$
il mio professore procede così:
$y^2+2y+\alpha=0$ ha soluzione $hArr$ il discriminante è positivo,cioè $4-4\alpha>=0 hArr \alpha>=1$
allora $y(x)_{1,2}=-1\pmsqrt(1-\alpha)$
quindi se $\alpha=1$ allora $y(x)=-1$ è soluzione unica del PdC,ed è definita su tutto $RR$
io invece ho provato a calcolare la soluzione direttamente con la separazione delle variabili
$y'=y^2+2y+1$
$\int 1/(y^2+2y+1) dy= \int dx$
$-1/(y+1)=x+c$
$y(x)=-1/(x+c)-1$
quindi $y(0)=1 hArr -1/c-1=1 hArr c=-1/2$
allora $y(x)=-(2x+1)/(2x-1)$
che è piuttosto diversa come soluzione!!
dove sbaglio?
devo calcolare gli $\alpha in RR$ t.c. le soluzioni di
$\{(y'=y^2+2y+\alpha),(y(0)=1):}$
sono definite su $RR$
ho problemi per valutare il caso $\alpha=1$
il mio professore procede così:
$y^2+2y+\alpha=0$ ha soluzione $hArr$ il discriminante è positivo,cioè $4-4\alpha>=0 hArr \alpha>=1$
allora $y(x)_{1,2}=-1\pmsqrt(1-\alpha)$
quindi se $\alpha=1$ allora $y(x)=-1$ è soluzione unica del PdC,ed è definita su tutto $RR$
io invece ho provato a calcolare la soluzione direttamente con la separazione delle variabili
$y'=y^2+2y+1$
$\int 1/(y^2+2y+1) dy= \int dx$
$-1/(y+1)=x+c$
$y(x)=-1/(x+c)-1$
quindi $y(0)=1 hArr -1/c-1=1 hArr c=-1/2$
allora $y(x)=-(2x+1)/(2x-1)$
che è piuttosto diversa come soluzione!!
dove sbaglio?
Risposte
Se metti $y(0)=1$ NON puoi trovare la soluzione costante.
Devi provare con $y(0)=-1$, no ?
Devi provare con $y(0)=-1$, no ?
hai ragione,sono un'idiota 
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