Equazione differenziale

[pr0wner]

Salve, avrei bisogno di chiarimenti su un esercizio:

$ e^-x y' + (2-y^2) arctan(e^x +3) = 0 $

1) Stabilire se esistono soluzioni costanti;
2) Stabilire se esistono soluzioni strettamente monotone e limitate

Credo che il punto 1 si faccia cosi
scrivo l'equazione nella forma:

$ y' = -(2-y^2)arctan(e^x +3) / (e^-x) $
e trovo le soluzioni costanti mettendo $ -(2-y^2) = 0 $ quindi $ y = +- sqrt(2) $ giusto?

e per il punto due??
grazie mille..

[Quinzio]

Beh, tutte le soluzioni che ad un certo punto si trovano in $y\in(-sqrt2,sqrt2)$ hanno derivata negativa e quindi tendono asintoticamente a $y=-\sqrt2$.

E quindi è monotona e limitata.

[pr0wner]

Non ho capito

[pr0wner]

Nessuno mi spiega meglio?

[Gendarmevariante1]

"Weizen":Salve, avrei bisogno di chiarimenti su un esercizio:

$ e^-x y' + (2-y^2) arctan(e^x +3) = 0 $

1) Stabilire se esistono soluzioni costanti;
2) Stabilire se esistono soluzioni strettamente monotone e limitate

Credo che il punto 1 si faccia cosi
scrivo l'equazione nella forma:

$ y' = -(2-y^2)arctan(e^x +3) / (e^-x) $
e trovo le soluzioni costanti mettendo $ -(2-y^2) = 0 $ quindi $ y = +- sqrt(2) $ giusto?

e per il punto due??
grazie mille..

Provo anche io:

hai trovato le due soluzioni costanti, e fin qui ok.
Poi, essendo
$ y' = f(x,y) = (y^2-2)arctan(e^x +3) / (e^-x) $ una funzione continua in $RR^2$, ed essendo anche

$ (partial f)/(partial y) = 2y arctan(e^x +3) / (e^-x) $ una funzione ancora continua in $RR^2$

allora vale il teorema di esistenza e unicità locale su $RR^2$.
Di conseguenza, se una soluzione passa per un punto interno alla striscia delimitata dalle due costanti $ y = +- sqrt(2) $, sicuramente non potrà mai uscire dalla striscia: esistono quindi soluzioni limitate.
Inoltre, queste stesse soluzioni hanno la derivata $y'$ strettamente negativa (perché nella striscia il termine $(y^2-2)$ è negativo) quindi sono strettamente monotone e decrescenti

[pr0wner]

Grazie mille ora ho capito tutto