Equazione differenziale

[Gost91]

Salve a tutti!

Data la seguente equazione differenziale:

\[\frac{\text{d}F}{\text{d} x}x(k_1-k_2y)=\frac{\text{d}G}{\text{d} y}y(k_3-k_4x)\]

con \(F=F(x)\), \(G=G(y)\) e \(k_i\) costanti positive, si ha per separazione di variabili:

\[\frac{x}{k_3-k_4x}\frac{\text{d}F}{\text{d} x}=\frac{y}{k_1-k_2y}\frac{\text{d}G}{\text{d} y}= C\]

con \(C\) costante arbitraria.

Il mio quesito è: da dove esce fuori la costante \(C\) ?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.

[Camillo]

A primo membro hai un rapporto tra funzioni della sola $x $ ; a secondo membro un rapporto tra funzioni della sola $ y $
questi rapporti devono essere uguali per qualunque valore di $ x $ e qualunque valore di $y $ dunque saranno uguali a una costante.

[Gost91]

Grazie per la risposta Camillo.

Perdonami, sono un po' un testone.
Potresti rispiegarti? Non l'ho ancora presa...

[ciampax]

Quello che dice Camillo è che separando come hai fatto ottieni $A(x)=B(y)$ dove le due funzioni dovrebbero essere uguali per ogni possibile scelta di $x$ e di $y$. A questo punto chiediti: in che caso funzioni diverse, dipendente da variabili diverse possono essere uguali sempre?

[Gost91]

Chiarissimo, grazie mille