Equazione differenziale
Salve a tutti!
Data la seguente equazione differenziale:
\[\frac{\text{d}F}{\text{d} x}x(k_1-k_2y)=\frac{\text{d}G}{\text{d} y}y(k_3-k_4x)\]
con \(F=F(x)\), \(G=G(y)\) e \(k_i\) costanti positive, si ha per separazione di variabili:
\[\frac{x}{k_3-k_4x}\frac{\text{d}F}{\text{d} x}=\frac{y}{k_1-k_2y}\frac{\text{d}G}{\text{d} y}= C\]
con \(C\) costante arbitraria.
Il mio quesito è: da dove esce fuori la costante \(C\) ?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.

Data la seguente equazione differenziale:
\[\frac{\text{d}F}{\text{d} x}x(k_1-k_2y)=\frac{\text{d}G}{\text{d} y}y(k_3-k_4x)\]
con \(F=F(x)\), \(G=G(y)\) e \(k_i\) costanti positive, si ha per separazione di variabili:
\[\frac{x}{k_3-k_4x}\frac{\text{d}F}{\text{d} x}=\frac{y}{k_1-k_2y}\frac{\text{d}G}{\text{d} y}= C\]
con \(C\) costante arbitraria.
Il mio quesito è: da dove esce fuori la costante \(C\) ?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Risposte
A primo membro hai un rapporto tra funzioni della sola $x $ ; a secondo membro un rapporto tra funzioni della sola $ y $
questi rapporti devono essere uguali per qualunque valore di $ x $ e qualunque valore di $y $ dunque saranno uguali a una costante.
questi rapporti devono essere uguali per qualunque valore di $ x $ e qualunque valore di $y $ dunque saranno uguali a una costante.
Grazie per la risposta Camillo.
Perdonami, sono un po' un testone.
Potresti rispiegarti? Non l'ho ancora presa...
Perdonami, sono un po' un testone.
Potresti rispiegarti? Non l'ho ancora presa...
Quello che dice Camillo è che separando come hai fatto ottieni $A(x)=B(y)$ dove le due funzioni dovrebbero essere uguali per ogni possibile scelta di $x$ e di $y$. A questo punto chiediti: in che caso funzioni diverse, dipendente da variabili diverse possono essere uguali sempre?
Chiarissimo, grazie mille
