Equazione differenziale
Come si risolve
y'=1+x+e^(2y) y(0)=1
Risposte
Mmmm, equazione non lineare. Provato a porre $z=e^{2y}$?
Ma cosa succede se faccio quella sostituzione? Ma come fai a scrivere le formule ancora così? da quando hanno aggiornato il server non ho più quel tasto dusplaystyle 
Le formule funzionano (anche se non c'è più il tasto). Basta che tutto il codice lo inserisci tra i simboli di dollaro.
Se poni quello che ti ho detto l'equazione si modifica e dovrebbe risultare più semplice (credo, non ho fatto i conti). Per cui prova e fammi sapere.
Se poni quello che ti ho detto l'equazione si modifica e dovrebbe risultare più semplice (credo, non ho fatto i conti). Per cui prova e fammi sapere.
Se pongo $e^y=z$ ho che $y=logz$ ma $y'$ a cosa è uguale?
dovresti porre $e^{2y}=z$ quindi ...$y'={z'}/{2z}$ ... ma questa EDO non mi sembra semplicissima .... probabilmente ho sbagliato i conti ... 
Se $z=e^{2y}$, allora $y=1/2\log z$ e quindi $y'={z'}/{2z}$. L'equazione diventa
$z'=2z(1+x)+2z^2$ con la condizione $z(0)=e^{2}$
L'equazione risulta di Bernoulli.
$z'=2z(1+x)+2z^2$ con la condizione $z(0)=e^{2}$
L'equazione risulta di Bernoulli.
azz. Bernulli!!!! è vero!
@Noisemaker: la pronuncia è "Bernuiì". Come lo hai scritto tu, si pronuncia "Berniuiì" 
"ciampax":
Se $z=e^{2y}$, allora $y=1/2\log z$ e quindi $y'={z'}/{2z}$. L'equazione diventa
$z'=2z(1+x)+2z^2$ con la condizione $z(0)=e^{2}$
L'equazione risulta di Bernoulli.
Perchè $y'={z'}/{2z}$?
Dell'equazione di Bernoulli non ne ho mai sentito parlare.......
La funzione $y(x)=1/2\log(z(x))$ è una funzione composta. Quando derivi, otterrai la derivata del logaritmo moltiplicata per la derivata dell'argomento.
Mi sembra strano tu non abbia mai visto queste equazioni: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... _Bernoulli
Sono quelle nella forma $y'+a(x) y=b(x) y^\alpha$.
Mi sembra strano tu non abbia mai visto queste equazioni: http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... _Bernoulli
Sono quelle nella forma $y'+a(x) y=b(x) y^\alpha$.
No, tu hai
$z'-2(1+x) z=2z^2$
dove $a(x)=-2(1+x),\ b(2)=2$ (meglio scriverle così, fidati). Ora poni $w=z^{-1}$: poiché $w'=-z^{-2} z'$, sostituendo ottieni l'equazione lineare
$w'+2(1+x)w=-2$
che dovresti saper risolvere (la condizione iniziale diventa $w(0)=e^{-2}$).
Alla fine fai le sostituzioni a ritroso per trovare $y=1/2\log(w^{-1})=-1/2\log w$.
$z'-2(1+x) z=2z^2$
dove $a(x)=-2(1+x),\ b(2)=2$ (meglio scriverle così, fidati). Ora poni $w=z^{-1}$: poiché $w'=-z^{-2} z'$, sostituendo ottieni l'equazione lineare
$w'+2(1+x)w=-2$
che dovresti saper risolvere (la condizione iniziale diventa $w(0)=e^{-2}$).
Alla fine fai le sostituzioni a ritroso per trovare $y=1/2\log(w^{-1})=-1/2\log w$.
Si mi ero accorta di aver scritto una stupidata e l avevo cancellata -.-
Una cosa non avevo capito :perchè la condizione è cambiata? Cioè perchè siamo passati da $ y(0)=1$ a $ z(0)=e^2 $?
Una cosa non avevo capito :perchè la condizione è cambiata? Cioè perchè siamo passati da $ y(0)=1$ a $ z(0)=e^2 $?
Perché $z(x)=e^{2y(x)}$ per cui $z(0)=e^{2y(0)}$ ed è conveniente calcolare le costanti prima di tornare alla nuova funzione, per evitare di doversi scervellare su conti dipendenti da un parametro.
Giusto...
Ho riscontrato un piccolo problema nello svolgimento dell'equazione lineare:
arrivo ad avere $ e^{-2}e^{-2x-x^2}+ e^{-2x-x^2} \int 2e^{2x}e^{x^2} $
ma l'integrale come lo risolvo?
Ho riscontrato un piccolo problema nello svolgimento dell'equazione lineare:
arrivo ad avere $ e^{-2}e^{-2x-x^2}+ e^{-2x-x^2} \int 2e^{2x}e^{x^2} $
ma l'integrale come lo risolvo?
Mmmmm..... brutta bestia. Non lo risolvi in realtà, non esiste una primitiva espressa in forma elementare. E questo mi fa pensare che allora per risolvere bisogna fare una cosa un pochino meno semplice. Solo che ora non mi viene in mente.
Vabbè ci abbiamo provato grazie 1000
grazie 1000
Ma se io di questa disequazione differenziale voglio sapere solo che andamento a tra 0 e 1 la storia cambia? Praticamente io credevo di dover risolvere la disequazione e poi studiarne la derivata prima e la seconda..c'è un'altra strada dato che la disequazione è difficile da risolvere?
Bé, se è così, certo che le cose cambiano. Il fatto di avere l'equazione e le condizioni iniziali ti permettono di ragionare sull'andamento della funzione stessa. Ad esempio, puoi calcolare
$y'(0)=1+0+e^2=1+e^2$
Inoltre Essendo $x\in[0,1]$ allora $1+x>1$ ed avendosi pure $e^{2y}>0$ segue $y'>0$ per cui la funzione risulta sempre crescente sull'intervallo.
Infine si ha
$y''=1+2y' e^{2y}$ che di nuovo risulta $>0$ per cui la funzione è convessa.
$y'(0)=1+0+e^2=1+e^2$
Inoltre Essendo $x\in[0,1]$ allora $1+x>1$ ed avendosi pure $e^{2y}>0$ segue $y'>0$ per cui la funzione risulta sempre crescente sull'intervallo.
Infine si ha
$y''=1+2y' e^{2y}$ che di nuovo risulta $>0$ per cui la funzione è convessa.
Ma per quanto riguarda la derivata prima quando trovo
$y'(0)=1+e^2$ non basta questo per dire che è sempre crescente? $1+e^2$ è sempre positiva no?
E non ho capito le considerazioni che hai fatto dal momento che $x$appartiene a $[0,1]$...
$y'(0)=1+e^2$ non basta questo per dire che è sempre crescente? $1+e^2$ è sempre positiva no?
E non ho capito le considerazioni che hai fatto dal momento che $x$appartiene a $[0,1]$...
No, quella è la derivata in un punto: tu devi far vedere che la funzione derivata è positiva per affermare che è crescente!
Se $x\in[0,1]$ allora $x è positivo....
Però figliola, tu devi sforzarti di ragionare un po'
Se $x\in[0,1]$ allora $x è positivo....
Però figliola, tu devi sforzarti di ragionare un po'
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