Equazione differenziale
Per quali \(\displaystyle \alpha \) le soluzioni di \(\displaystyle y''-(4-(\alpha)^2)=0 \) sono funzioni limitate?
l'equazione associata è: \(\displaystyle x^2-(4- \alpha)=0 \)
\(\displaystyle \Delta: 4(4- \alpha ^2) \)
soluzione: \(\displaystyle \frac {0 \pm 4(4- \alpha ^2)}{2} \)
\(\displaystyle x1= + \sqrt {4- \alpha ^2} \) e \(\displaystyle x2= -\sqrt {4- \alpha ^2} \)
\(\displaystyle y: k1e^{+ \sqrt {4- \alpha ^2}x} + k2e^{- \sqrt {4- \alpha ^2}x} \)
Per guardare se è limitata devo fare il limite per \(\displaystyle x -> \pm \infty \)
\(\displaystyle lim(x -> +\infty) \)\(\displaystyle k1e^{+ \sqrt {4- \alpha ^2}x} + k2e^{- \sqrt {4- \alpha ^2}x} \)
se \(\displaystyle \alpha=2 \) il risultato del limite è \(\displaystyle k1+k2 \), giusto? quindi è limitata.
se \(\displaystyle \alpha>2 \) il risultato è \(\displaystyle +\infty \)
Quindi sono limitate per \(\displaystyle x=\alpha \) secondo me.. invece il risultato è \(\displaystyle |\alpha|>2 \), perchè?
l'equazione associata è: \(\displaystyle x^2-(4- \alpha)=0 \)
\(\displaystyle \Delta: 4(4- \alpha ^2) \)
soluzione: \(\displaystyle \frac {0 \pm 4(4- \alpha ^2)}{2} \)
\(\displaystyle x1= + \sqrt {4- \alpha ^2} \) e \(\displaystyle x2= -\sqrt {4- \alpha ^2} \)
\(\displaystyle y: k1e^{+ \sqrt {4- \alpha ^2}x} + k2e^{- \sqrt {4- \alpha ^2}x} \)
Per guardare se è limitata devo fare il limite per \(\displaystyle x -> \pm \infty \)
\(\displaystyle lim(x -> +\infty) \)\(\displaystyle k1e^{+ \sqrt {4- \alpha ^2}x} + k2e^{- \sqrt {4- \alpha ^2}x} \)
se \(\displaystyle \alpha=2 \) il risultato del limite è \(\displaystyle k1+k2 \), giusto? quindi è limitata.
se \(\displaystyle \alpha>2 \) il risultato è \(\displaystyle +\infty \)
Quindi sono limitate per \(\displaystyle x=\alpha \) secondo me.. invece il risultato è \(\displaystyle |\alpha|>2 \), perchè?
Risposte
Devi ragionare sul $\Delta$: ricorda che in una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti si possono presentare tre tipologie di soluzioni:
$y(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}$ quando $\Delta>0$
$y(t)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda t}$ quando $\Delta=0$
$y(t)=e^{kt}(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$ quando $\Delta<0$
Ora, di queste soluzioni, le prime due non sono mai limitate (a meno di scegliere $C_1=C_2=0$) per cui devi considerare il caso $\Delta<0$ che implica $4-\alpha^2<0$. Che tipo di soluzioni ottieni e quali sono i valori di $\alpha$ utili?
$y(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}+C_2 e^{\lambda_2 t}$ quando $\Delta>0$
$y(t)=(C_1+C_2 x)e^{\lambda t}$ quando $\Delta=0$
$y(t)=e^{kt}(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$ quando $\Delta<0$
Ora, di queste soluzioni, le prime due non sono mai limitate (a meno di scegliere $C_1=C_2=0$) per cui devi considerare il caso $\Delta<0$ che implica $4-\alpha^2<0$. Che tipo di soluzioni ottieni e quali sono i valori di $\alpha$ utili?
Giustissimo ragionamento...grazie
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