Equazione differenziabile a coefficienti variabili
Ciao!
Ho il seguente problema di Cauchy di una prova d'esame:
$ y'=e^(t-3y)+1/3 $
con la condizione iniziale $ y(0)=0 $
Non devo calcolare la soluzione associata all'equazione omogenea visto che è a coefficiente variabili, giusto?
Quindi devo usare la formula di risoluzione delle equazioni differenziale (a coefficienti variabili) $ y'(t)=a(t)y(t)+b(t) $ , cioè:
$ y(t)=y(0)e^(A(t))+e^(A(t))int_(t_0)^(t) e^(-A(s))b(s)ds $ .
dove $ A(t)=int_(t_0)^(t)a(s)ds $
Io ho provato a calcolare la soluzione applicando la formula e ho i seguenti risultati:
$ A(t)=int_(0)^(t) e^s ds = e^t -1 $
per cui
$ y(t)=e^(e^t-1) int_(0)^(t) e^(1-e^s)1/3 ds = 1/3e^(e^t)int_(0)^(t) e^(-e^s)ds $
a questo punto però non so più come andare avanti. Ho provato a sostituire $ e^s= z $ nell'integrale ma mi vien fuori $ int e^z/z dz $ che non riesco a risolvere...
Come potrei risolvere?
Grazie in anticipo
Ho il seguente problema di Cauchy di una prova d'esame:
$ y'=e^(t-3y)+1/3 $
con la condizione iniziale $ y(0)=0 $
Non devo calcolare la soluzione associata all'equazione omogenea visto che è a coefficiente variabili, giusto?
Quindi devo usare la formula di risoluzione delle equazioni differenziale (a coefficienti variabili) $ y'(t)=a(t)y(t)+b(t) $ , cioè:
$ y(t)=y(0)e^(A(t))+e^(A(t))int_(t_0)^(t) e^(-A(s))b(s)ds $ .
dove $ A(t)=int_(t_0)^(t)a(s)ds $
Io ho provato a calcolare la soluzione applicando la formula e ho i seguenti risultati:
$ A(t)=int_(0)^(t) e^s ds = e^t -1 $
per cui
$ y(t)=e^(e^t-1) int_(0)^(t) e^(1-e^s)1/3 ds = 1/3e^(e^t)int_(0)^(t) e^(-e^s)ds $
a questo punto però non so più come andare avanti. Ho provato a sostituire $ e^s= z $ nell'integrale ma mi vien fuori $ int e^z/z dz $ che non riesco a risolvere...
Come potrei risolvere?
Grazie in anticipo
Risposte
Quell'ultimo integrale non lo riesci a risolvere perché non si può risolvere analiticamente: è come $\int e^{x^2} \text{d}x$.
Quindi c'è sicuramente qualche errore di calcolo, che suppongo essere quando applichi la formula; infatti $A(t)$ è un integrale indefinito, in quanto è il fattore integrante. Non devi valutarlo tra $0$ e $t$.
Perciò $A(t)=\int e^t \text{d}t=e^t$.
Quindi c'è sicuramente qualche errore di calcolo, che suppongo essere quando applichi la formula; infatti $A(t)$ è un integrale indefinito, in quanto è il fattore integrante. Non devi valutarlo tra $0$ e $t$.
Perciò $A(t)=\int e^t \text{d}t=e^t$.
@Mephlip: Guarda che l’uso delle funzioni integrali è il modo corretto di procedere, soprattutto quando si ha a che fare con Pp.dd.Cc.
Sì, è il modo corretto; mi era sfuggita la presenza di $y(0)$ e l'assenza della costante $c$ nella formula, quindi pensavo avesse usato l'integrazione indefinita. Grazie per avermelo fatto notare @gugo82 e scusami @Lullaby93!
Infatti sto pure notando ora che l'equazione non è lineare, ho letto con poca attenzione; perciò non puoi usare quella formula (spero di non aver detto un'altra castroneria, in tal caso sto zitto d'ora in poi
).
Infatti sto pure notando ora che l'equazione non è lineare, ho letto con poca attenzione; perciò non puoi usare quella formula (spero di non aver detto un'altra castroneria, in tal caso sto zitto d'ora in poi
).
Ciao Lullaby93,
L'equazione differenziale ordinaria proposta $ y'(t) = e^{t-3y(t)} + 1/3 $
è del primo ordine non lineare. Per risolverla prova a porre
$v(t) := t - 3 y(t) $
"Lullaby93":
Come potrei risolvere?
L'equazione differenziale ordinaria proposta $ y'(t) = e^{t-3y(t)} + 1/3 $
è del primo ordine non lineare. Per risolverla prova a porre
$v(t) := t - 3 y(t) $
Non ti preoccupare @mephlip , comunque ora mi è sorto un dubbio: siccome è un'equazione non lineare non posso usare quella formula? Quindi per questo non calcolo la soluzione dell'equazione omogenea associata...
Grazie @pilloeffe , ho sostituito come mi hai consigliato e dopo vari calcoli mi trovo la soluzione
$ y=(t+log(3t+1))/3 $
che soddisfa l'equazione.
Inoltre l'esercizio continuava chiedendo di risolvere un altro problema di Cauchy, più o meno simile, ma di secondo grado:
$ { ( v''=e^(t-3v)(1-3v') ),( v(0)=0 ),( v'(0)=4/3 ):} $
come prima ho provato a porre $ t-3v=y $
e l'equazione diventerebbe: $ y''=-3e^y y' $
Provo ad "abbassare" il grado dell'equazione di partenza facendo:
$ { ( y'=z ),( z'=-3e^yz ):} $
e di nuovo mi blocco e mi confondo..devo comunque continuare su questa strada, o posso usare qualche altro metodo?
Grazie @pilloeffe , ho sostituito come mi hai consigliato e dopo vari calcoli mi trovo la soluzione
$ y=(t+log(3t+1))/3 $
che soddisfa l'equazione.
Inoltre l'esercizio continuava chiedendo di risolvere un altro problema di Cauchy, più o meno simile, ma di secondo grado:
$ { ( v''=e^(t-3v)(1-3v') ),( v(0)=0 ),( v'(0)=4/3 ):} $
come prima ho provato a porre $ t-3v=y $
e l'equazione diventerebbe: $ y''=-3e^y y' $
Provo ad "abbassare" il grado dell'equazione di partenza facendo:
$ { ( y'=z ),( z'=-3e^yz ):} $
e di nuovo mi blocco e mi confondo..devo comunque continuare su questa strada, o posso usare qualche altro metodo?
Non puoi usarla proprio perché quella è una formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari
"Mephlip":
Non puoi usarla proprio perché quella è una formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari
ah ecco..grazie mille
"Lullaby93":
Grazie @pilloeffe
Prego!
"Lullaby93":
come prima ho provato a porre $t−3v=y $
e l'equazione diventerebbe: $y''=−3e^y y' $[...]
Quella che hai ottenuto è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine non lineare autonoma (manca la variabile indipendente $t $), per cui trattando la $y$ come variabile indipendente conviene porre $u(y) := (dy(t))/dt $ in modo che si abbia
$y'' = d/dt y' = d/dt u(y) = (du(y))/dy \cdot dy/dt = u(y) (du)/dy $
e dunque l'equazione proposta diventa la seguente:
$ u(y) (du)/dy = - 3 e^y u(y) \implies u(y) = - 3 e^y + c_1 $
A questo punto, ricordando che si era posto $u(y) := (dy(t))/dt $, si ottiene
$y(t) = - ln(3/c_1 - \frac{e^{c_1 c_2 - c_1 t}}{c_1}) $
Dunque in definitiva si ha:
$v(t) = 1/3 (t - y) = 1/3 [t + ln(3/c_1 - \frac{e^{c_1 c_2 - c_1 t}}{c_1})] $
E adesso mi basta sostituire le condizioni iniziali e mi trovo $ c_1 $ e $c_2 $
..grazie
..grazie
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