Equazione diff

[jestripa-votailprof]

come suggeritomi da fioravante ho svolto la seguente eq così ma c'è qualcosa che nn va....
$y''+y'=x$
$y(0)=0$
$y'(0)=0$

soluzione omogenea:
$y(x)=A+Be^(-x)$

soluzione particolare
$b(x)=x=P_n(x)$ allora $y(x)=P_m(x)=Mx^2$
essendo $m=n+r=2$

quindi
$y'(x)=2Mx$
$y''(x)=2M$

sostituendo:
$2M+2Mx=x$
$x(2M-1)=-2M
$M=1/2$

quindi la soluzione particolare:
$y(x)=1/2x^2$

ma volendo fare una verifica,i conti nn tornano,infatti:
$y'(x)=x$
$y''(x)=1$
$1+x!=x$

dove ho sbagliato?????

non so se si può fare,ma a questo punto suppongo di sì visto che le soluzioni particolari potrebbero essere diverse,MA se ponessi:
$P_m(x)=Mx^2-x$
magicamente avrei:
$y(x)=Mx^2-x$
$y'=2Mx-1$
$y''=2M$

quindi M è sempre.
$M=1/2$
ma quando vado a sostituire:
y=1/2x^2-x$
$y'=x-1$
$y''=1$
$1+x-1=x$
$x=x$
e tutto torna.
si può fare?
ditemi di sìììììììììììììììììììììììììììììì!!!!!

[gugo82]

Circa lo svolgimento dell'equazione omogenea associata, niente da dire, va benissimo: trovi correttamante l'integrale generale $y(x)=A+Be^(-x)$.

Ora, il termine noto dell'equazione completa è $f(x)=x$, polinomio di primo grado: poichè $x=e^(0*x)*[x*cos(0*x)+0*sin (0*x)]$ e poichè $0=0+0*i$ è radice del polinomio caratteristico con molteplicità uno, ti aspetti di trovare una soluzione particolare dell'equazione completa nella forma:

$e^(0*x)*[P(x)*cos(0*x)+Q(x)*sin(0*x)]=P(x)$

ove $P$ è un polinomio di grado pari alla somma del grado di $f$ e della molteplicità della radice $0$ del polinomio caratteristico*; visto che $f$ è di grado uno e $0$, come già osservato, ha molteplicità uno, devi cercare $P$ nella forma:

$P(x)=ax^2+bx+c quad$ (polinomio di secondo grado).

Derivando $P$ una e due volte trovi:

$P'=2ax+b quad$ e $quad P''=2a$

e sostituendo nell'equazione hai:

$P''+P'=x quad =>quad 2a+(2ax+b)=x quad =>quad 2ax+(2a+b)=x$;

l'ultima uguaglianza è verificata per ogni $x in RR$ se e solo se sono ordinatamente uguali i coefficienti dei polinomi al primo ed al secondo membro (Principio d'Identità dei Polinomi): pertanto devi determinare $a,b$ dal sistema:

$\{(2a=1),(2a+b=0):}$

le cui soluzioni, si vede "a occhio", sono $a=1/2, b=-1$.
Ne consegue che, comunque si fissi $c$, l'applicazione $P(x)=x^2/2-x+c$ è una soluzione particolare dell'equazione completa $y''+y'=x$.

Ricordando l'espressione dell'integraòle generale dell'omogenea associata, da quanto detto discende che l'integrale generale dell'EDO assegnata è:

$y(x)=x^2/2-x+(A+c)+B*e^(-x)=x^2/2-x+C+B*e^(-x)$

(abbiamo "inglobato" il parametro arbitrario $c$ e la costante $A$ in un unico parametro $C$).

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* Anche $Q$ dovrebbe soddisfare queste condizioni, ma poichè è moltiplicato per una costante nulla ($sin(0*x)=0$!) possiamo anche scordarci che esso esista!