Equazione di una linea di tendenza

[ederma]

1- Ho delle apparecchiature che erogano energia partendo dal 40% del loro potenziale nominale e incrementano ogni 5'' del 10% della differenza tra il potenziale precedente e 100, arrivando al massimo dopo circa 4'.
La curva di erogazione sarebbe formata da una serie che parte da 40%, poi (+ 10 di (100-40= 60) 46, poi 51,4, etc.
Esiste un modo per calcolare una linea di tendenza?
Dovrei poterla inserire in un file Excel per calcolare i Tempi di erogazione distinti per ogni paziente.

[gugo82]

Beh, puoi usare una ricorrenza che è anche molto semplice da manipolare e risolvere esplicitamente (d’altra parte, questi sono modelli abbastanza classici).

Detta $x(n)$ la percentuale di energia erogata dopo $5n$ secondi, con $n in NN$, hai:
\[
\begin{cases}
x(n+1) = x(n) + 0.1\ \Big( 1 - x(n)\Big) \\
x(0) = 0.4
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow\qquad \begin{cases}
x(n+1) = 0.9\ x(n) + 0.1 \\
x(0) = 0.4
\end{cases}
\]
Puoi dimostrare facilmente che la successione $x(n)$ cresce strettamente, è limitata dall’alto da $1$ e tende ad $1$ (cioè al limite eroghi il 100% dell’energia disponibile).

Inoltre, puoi determinarne anche la forma esplicita: infatti, hai:
\[
\begin{split}
x(n) &= 0.9\ x(n-1) + 0.1 \\
&= 0.9^2\ x(n-2) + 0.1\ (1 + 0.9) \\
&= 0.9^3\ x(n-3) + 0.1\ (1 + 0.9 + 0.9^2)\ \cdots \\
&= 0.9^n\ x(0) + 0.1\ \sum_{k=0}^{n-1} 0.9^k\\
&= 0.4\cdot 0.9^n + 0.1\ \frac{1 - 0.9^n}{1 - 0.9}\\
&= 1 - 0.6\cdot 0.9^n\; .
\end{split}
\]
Per $n=60$, che corrisponde a $T=5’’*60=300’’=5’$, hai $x(60)=0.99892$, cioè eroghi il 99.89% dell’energia, e puoi considerarti ampiamente a regime.

Se vuoi una funzione in tempo continuo, cioè scritta rispetto al tempo $t>=0$ espresso in secondi, puoi ricordare che sei partito da $t=5n$, sicché puoi sostituire $n=t/5$ nell’espressione di $x(n)$ ricavata sopra ed ottenere la funzione:
\[
x(t) := 1 - 0.6*0.9^{t/5}
\]
il cui grafico lo puoi far disegnare da un qualsiasi software di calcolo.

[ederma]

Grazie gugo82, ma mi dici: 240''=5'...e non 4'.
In realtà le percentuali le avevo facilmente calcolate su un foglio Excel, ma avrei bisogno di conoscere l'equazione da inserire nel file Excel per arrivare ad avere il Tempo T da programmare per erogare N milliJoules (1mJ= 1 mW(cmq+1 secondo).
Mi spiego: il valore nominale dell'energia emessa è di (esempio) 5,50 mW/cmq, che però viene raggiunto con la gradualità enunciata. Il protocollo di trattamento prevede la somministrazione di n mJ (esempio 1350 mJ) da erogarsi secondo una scaletta precisa e costante, che arriva al 115%:
T1. 25% di P (1.350)
T2. 40%
T3. 52,5%
T4. 62,5%
T5. 72,5%
T6. 80,0%
T7. 87,5%
T8. 92,5%
T9. 97,5%
T10. 100,0%
T11. 102,5%
T12. 105,0%
T13. 107,5%
T14. 110,0%
T15. 112,5%
T16. 115,0%

Io vorrei trovare la formula da inserire sul foglio Excel che, dato X (valore di Irradianza dell'attrezzatura in uso)e Y(valore dei mJ da erogare secondo la scaletta riportata, mi dia in autopmatico i Tempi T1, T2, T3, etc.

[gugo82]

Intanto correggevo...

Ad ogni buon conto, aspetta un momento.
La ricorrenza che ho scritto non ti consente di superare il 100% quindi il modello che ti ho proposto non si adatta al tuo caso in maniera immediata.

Quello che non ho capito è come vuoi procedere.
Ti servono gli istanti di tempo in cui “dare la scossa” ( ), ma non si capisce bene da cosa vuoi partire per ricavarli.
Rileggendo il post precedente, sembra che l’istante in cui eroghi il 100% (quello che hai chiamato $T_(10)$) deve coincidere con 5’ dall’inizio dell’osservazione. Giusto?

Per il resto, non riesco a capire come le grandezze entrino nella questione... $X$, $Y$, $P$ che sono?
Nella scaletta ci sono percentuali, non valori in mJ, quindi $Y$ che cos’è?
Cerca di spiegare meglio.