Equazione di terzo grado in campo complesso

[leonardoantonio.89]

Ciao a tutti, stavo risolvendo questa traccia d'esame quando ad un certo punto mi trovo indeciso sulla soluzione finale. La traccia dice:

Risolvere nel campo complesso \(\displaystyle \mathbb{C} \) la seguente equazione:

\(\displaystyle \left(\frac{z-i}{z+2}\right)^3=-i \)

dunque il mio procedimento è quello di fare la radice cubica al primo ed al secondo membro. Ora, \(\displaystyle -i = i^3 \) quindi ottengo \(\displaystyle i \) e procedo al calcolo della soluzione con il sistema e trovo come unica soluzione:

\(\displaystyle z=-\frac{3}{2}+\frac{3 i}{2} \)

wolfram però mi calcola anche le altre due soluzioni dell'equazione complessa, cosa che il mio metodo non da. Come posso fare per calcolare le altre due soluzioni? Devo per forza risolvere l'equazione cubica con il procedimento lungo e impegnativo? Vorrei metterci meno tempo possibile giacché è un esame di analisi, grazie

[stormy1]

devi trovare le tre radici cubiche di $-i$ e uguagliarle,una alla volta,a $(z-i)/(z+2)$

[21zuclo]

fai questa sostituzione

$ (z-i)/(z+2)=zeta $

così hai $ zeta^3=-i $ e risolvi l'equazione nell'incognita $\zeta$

troverai 3 soluzioni..contante poi con la loro molteplicità..

poi ovviamente devi andare a sostituire le tue soluzioni in $\zeta$ in $\zeta=(z-i)/(z+2)$

[leonardoantonio.89]

grazie stormy e grazie 21zuclo per le risposte. Sto provando il metodo proposto da 21zuclo ma non riesco proprio a capire come trovare le tre soluzioni

\(\displaystyle \zeta ^3=-i \)

vi imploro aiutatemi! grazie mille

[Camillo]

Devi trovare le radici terze del numero $-i = e^(3pi/2) = cos (3pi/2)+i*sin(3pi/2)$

[leonardoantonio.89]

ho capito ed ha funzionato, grazie Camillo, grazie stormy e grazie 21zuclo per il vostro supporto