Equazione di terzo grado

[lex1531]

ho questa equazione ma non so come risolverla:

$x^3+1=0$

so che avrà tre radici e una di queste è sicuramente $-1$ ma non so come calcolare le altre!

[_prime_number]

E' una somma di cubi, quindi si scompone con il prodotto notevole (o con Ruffini in alternativa)
$(x+1)(x^2 -x+1)$
Il polinomio di secondo grado $x^2 -x+1$ non ha radici reali, puoi vederlo calcolandone il $\Delta$.

Paola

[lex1531]

grazie paola, però il libro mi da due soluzioni complesse e cioè:

$1/2+-isqrt(3/2)$

volevo capire come si calcolavano

[_prime_number]

Con il $\Delta$, ricordando che $\sqrt{-1}=\pm i$.

Paola

[gio73]

I numeri complessi mi interessano particolarmente e vorrei intervenire, poi magari Paola controlla:
$(x+1)(x^2-x+1)=0$
ora il prodotto si azzera se almeno uno dei due fattori è 0, il primo fattore si annulla quando x=-1, vediamo quando si annulla il secondo fattore
$x^2-x+1=0$
applichiamo il solito algoritmo per le equazioni di II grado
$x_(1,2)=(+1+-sqrt(1-4))/2=+1/2+-sqrt(-3)/2$
ora sotto radice mi trovo un numero negativo, ma non mi perdo d'animo perchè so che $i^2=-1$ e allora
$sqrt-3=sqrt(i^2*3)=isqrt3$
torna?

[lex1531]

si si e poi tutto diviso 2, in conclusione: $1/2+-sqrt(-3/2)=1/2+-isqrt(3/2)$

e mi trovo, grazie paola!

[gio73]

mmm... ci sarà qualcosa che mi sfugge, ma non mi sembra che il 2 al denominatore debba essere sotto radice,
voi che ne dite?

[lordb]

Ha ragione gio73.
Infatti:
$z^3+1=0$ equivale a $z^3=-1$ si ha che $piin{arg (z^3)}$.

$z_k=root(3)(1)*e^(i*((pi+2kpi)/3))$ con $k=0,1,2$

$z_0=e^(i(pi/3))=cos(pi/3)+isin(pi/3)=1/2+isqrt(3)/2$

$z_1=e^(i(pi/3+2/3pi))=cos(pi/3+2/3pi)+isin(pi/3+2/3pi)=cos(pi)+isin(pi)=-1$

$z_2=e^(i(pi/3+4/3pi))=cos(pi/3+4/3pi)+isin(pi/3+4/3pi)=1/2-isqrt(3)/2$

"prime_number":Con il $\Delta$, ricordando che $\sqrt{-1}=\pm i$.

prime_number mi sa che qui hai fatto una svista infatti $sqrt(-1)=i$ mentre $-sqrt(-1)=-i$.

[_prime_number]

$(-i)^2 = i^2 =-1$, nessuna svista.

Paola

[lordb]

Su questo non ci sono dubbi ma non vedo come implichi il fatto che $sqrt(-1)=+-i$.

Infatti anche $(-2)^2=2^2=4$ ma questo non vuol dire che $sqrt(4)=+-2$

[_prime_number]

Credo tu abbia le idee un po' confuse, considerando che $\sqrt{4}$ è in effetti uguale a $\pm 2$. In realtà (qualcuno che ne sa più di me sull'argomento mi corregga su questa spiegazione) penso dipenda da cosa vuoi fare. Se con la scrittura $\sqrt{4}$ cerchi tutti i numeri (reali o non) che elevati al quadrato danno $4$, allora il risultato è $\pm 2$. Se invece parliamo di funzione radice quadrata, chiaramente per definizione non possiamo avere due elementi corrispondenti al numero $4$, quindi definiremo la radice così: $\sqrt{x^2}=|x|$, ottenendo solo $2$. In questo caso stiamo facendo calcoli algebrici e quindi il risultato sarebbe $\pm i$, anche se poco importa ai fini del risultato finale, considerando che c'è già un $\pm$ davanti a quella radice.

Paola

[lordb]

Guarda, io studio ingegneria e quindi può benissimo essere che non sia molto ferrato in materia ma ho sempre inteso con la scrittura $sqrt(4)$:

$y=sqrt(4) | yinRR^+$ quindi $y=2$ dato che la funzione radice è biettiva ho un solo risultato.

Mentre l'altra sarebbe:

$x^2=4$ quindi $x_(1,2)=+-sqrt(4)=+-2$

Quindi molto semplicemente definendo l'unità immaginaria $i=sqrt(-1)$ e il suo opposto $-i=-sqrt(-1)$ è logico che $i^2=(-i)^2=-1$ e dunque $sqrt(i^2)=i=sqrt(-1)$.

Comunque ho capito cosa intendi.