Equazione di terzo grado
Salve a tutti,
sono un povero studente di Ingegneria proveniente dal liceo classico. Perdonate la mia ignoranza ma non so risolvere questa equazione di terzo grado, e non trovo informazioni né online né sul mio libro di testo.
$x^3 + 1 = 0$
So che ci sono tre soluzioni, una reale e due complesse. Me l'ha detto Mathematica!
Il primo approccio che mi è venuto in mente è applicare il primo principio per l'1 (ovvero lo porto dall'altra parte e diventa -1), poi metto la radice cubica. Mi sa che è una porcheria, ma una delle soluzioni mi viene ed è $(-1)^(1/3)$ che è un numero complesso, per la precisione $1/2 + sqrt(3)/2 i$ se non ho fatto male i conti.
Come faccio a tirare fuori le altre soluzioni?
Grazie in anticipo
sono un povero studente di Ingegneria proveniente dal liceo classico. Perdonate la mia ignoranza ma non so risolvere questa equazione di terzo grado, e non trovo informazioni né online né sul mio libro di testo.
$x^3 + 1 = 0$
So che ci sono tre soluzioni, una reale e due complesse. Me l'ha detto Mathematica!
Il primo approccio che mi è venuto in mente è applicare il primo principio per l'1 (ovvero lo porto dall'altra parte e diventa -1), poi metto la radice cubica. Mi sa che è una porcheria, ma una delle soluzioni mi viene ed è $(-1)^(1/3)$ che è un numero complesso, per la precisione $1/2 + sqrt(3)/2 i$ se non ho fatto male i conti.
Come faccio a tirare fuori le altre soluzioni?
Grazie in anticipo
Risposte
"euthymos":
$x^3 + 1 = 0$
Ci sono più metodi.
1) puoi calcolare le radici terze di $-1$
2) puoi fattorizzare il polinomio $x^3+1$, ottenendo
$(x+1)(x^2-x+1)$; a questo punto trovi le radici del polinomio $x^2-x+1$.
Una prima soluzione è banalmente $x=-1$. A questo punto applica la regola di Ruffini (se non la conosci riveditela) per ottenere il polinomio di secondo grado che ti fornisce le soluzioni complesse.
"K.Lomax":
Una prima soluzione è banalmente $x=-1$. A questo punto applica la regola di Ruffini (se non la conosci riveditela) per ottenere il polinomio di secondo grado che ti fornisce le soluzioni complesse.
Ti ho preceduto..
Mi pare di aver capito che non cerchi solo le soluzioni reali dell'equazione, ma tutte le soluzioni comprese quelle complesse non reali.
Intanto ti dico subito che non hai fatto per niente una porcheria, anzi il procedimento adottato per la soluzione è assolutamente corretto.
Arrivi quindi all'equazione $x=root(3)(-1)$, poi, visto che si tratta di una radice ad indice dispari, puoi portare il $-$ fuori dalla radice, quindi $x=-root(3)(1)$.
A questo punto si decide dove lavorare
se nei reali in cui $root(3)(1)=1$ ammette una sola soluzione, per cui anche l'equazione ammette una sola soluzione reale $x=-1$
o nei complessi in cui $root(3)(1)$ ammette 3 soluzioni $1, -1/2+sqrt3/2i , -1/2-sqrt3/2i$, per cui anche l'equazione ammette 3 soluzioni $x_1=-1$, $x_2=1/2+sqrt3/2i$ e $x_3=1/2-sqrt3/2i$.
Per trovare le tre radici di $root(3)(1)$ ho utilizzato la formula di de Moivre per il calcolo delle radici n-esime dell'unità
e io sono arrivata ultima, ma ... sono arrivata
Intanto ti dico subito che non hai fatto per niente una porcheria, anzi il procedimento adottato per la soluzione è assolutamente corretto.
Arrivi quindi all'equazione $x=root(3)(-1)$, poi, visto che si tratta di una radice ad indice dispari, puoi portare il $-$ fuori dalla radice, quindi $x=-root(3)(1)$.
A questo punto si decide dove lavorare
se nei reali in cui $root(3)(1)=1$ ammette una sola soluzione, per cui anche l'equazione ammette una sola soluzione reale $x=-1$
o nei complessi in cui $root(3)(1)$ ammette 3 soluzioni $1, -1/2+sqrt3/2i , -1/2-sqrt3/2i$, per cui anche l'equazione ammette 3 soluzioni $x_1=-1$, $x_2=1/2+sqrt3/2i$ e $x_3=1/2-sqrt3/2i$.
Per trovare le tre radici di $root(3)(1)$ ho utilizzato la formula di de Moivre per il calcolo delle radici n-esime dell'unità
e io sono arrivata ultima, ma ... sono arrivata
Grazie!
Adesso mi leggo per bene tutto.
Adesso mi leggo per bene tutto.
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