Equazione di secondo grado
Salve qualcuno sa risolvere quest'equazione facendo vedere anche i procedimenti?
\(\displaystyle x^2-ln|x|=0 \)
\(\displaystyle x^2-ln|x|=0 \)
Risposte
Ciao Gh3rra ,
Potendosi scrivere nella forma $x^2 - 1/2 ln x^2 = 0 $, direi che non ha soluzioni reali...
Si vede bene graficamente, infatti posto $t := x^2 $ l'equazione diventa $t - 1/2 ln t = 0 \iff 2t = ln t $ e quindi
$ {(y = 2t),(y = ln t):}$
Facendo il grafico della funzione $y = 2t $ (una retta passante per l'origine degli assi $t$ e $y$) e della ben nota funzione logaritmica $y = ln t $ si vede subito che il sistema non ha soluzione.
Potendosi scrivere nella forma $x^2 - 1/2 ln x^2 = 0 $, direi che non ha soluzioni reali...
Si vede bene graficamente, infatti posto $t := x^2 $ l'equazione diventa $t - 1/2 ln t = 0 \iff 2t = ln t $ e quindi
$ {(y = 2t),(y = ln t):}$
Facendo il grafico della funzione $y = 2t $ (una retta passante per l'origine degli assi $t$ e $y$) e della ben nota funzione logaritmica $y = ln t $ si vede subito che il sistema non ha soluzione.
Grazie mille
Ovviamente, tutto ok...
Tuttavia, vorrei farti vedere come fare lo studio del segno di $f(x) := x^2 - log |x|$ senza fare calcoli.
[ot]Dato che $f$ è pari, basta guardare cosa succede in $I=]0,+oo[$ (perché dall'altro lato accade lo stesso); per $x>0$ è $f(x) = x^2 - log x$ e, visto che $log x$ è una funzione strettamente concava in $I$ risulta:
$log x <= x - 1$ con uguaglianza valida solo per $x=1$
(poiché $y=x-1$ è la tangente alla curva $y=log x$ nel punto di ascissa $1$); ne viene che:
$f(x) = x^2 - log x >= x^2 - x + 1$
e l'ultimo membro è certamente $>0$ in $I$ perché $x^2 - x + 1 = (x - 1/2)^2 + 3/4$ è somma di due quadrati. Dunque $f(x) > 0$ in $I$... Senza risolvere disequazioni.[/ot]
Tuttavia, vorrei farti vedere come fare lo studio del segno di $f(x) := x^2 - log |x|$ senza fare calcoli.
[ot]Dato che $f$ è pari, basta guardare cosa succede in $I=]0,+oo[$ (perché dall'altro lato accade lo stesso); per $x>0$ è $f(x) = x^2 - log x$ e, visto che $log x$ è una funzione strettamente concava in $I$ risulta:
$log x <= x - 1$ con uguaglianza valida solo per $x=1$
(poiché $y=x-1$ è la tangente alla curva $y=log x$ nel punto di ascissa $1$); ne viene che:
$f(x) = x^2 - log x >= x^2 - x + 1$
e l'ultimo membro è certamente $>0$ in $I$ perché $x^2 - x + 1 = (x - 1/2)^2 + 3/4$ è somma di due quadrati. Dunque $f(x) > 0$ in $I$... Senza risolvere disequazioni.
[/ot]
@gugo82 Sei stato chiarissimo grazie mille
"Gh3rra":
@gugo82 Sei stato chiarissimo grazie mille
Prego.
Un ultimo appunto che ho dimenticato.
[ot]Visto che $f$ è convessa strettamente in $I$ (perché somma di funzioni convesse, si vede ad occhio), il minimo preso in $1/sqrt(2)$ è assoluto; dato che $f(1/sqrt(2)) = 1/2 (1 + log 2) > 0$, da ciò ricavi ancora una volta $f(x) > 0$ ovunque in $I$. Di nuovo, si è studiato il segno di $f$ senza risolvere disequazioni.
[/ot]
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