Equazione di ricorrenza

[Albert Wesker 27]

Salve. Un esercizio mi chiede di risolvere la seguente equazione di ricorrenza:

$\{(a_0=1),(a_1=2),(a_2=4),(a_3=0),(a_(n+4)-a_n=2(a_(n+3)-a_(n+1))+3*2^n):}$

Non si proprio da dove iniziare. Ogni tipo di aiuto è apprezzato. Grazie

[totissimus]

Riscriviamo l'equazione:
\( a_{n+4}-2 a_{n+3}+2 a_{n+1}-a_n=3 \cdot 2^n\)
Prima risolviamo l'equazione omogenea:
\( a_{n+4}-2 a_{n+3}+2 a_{n+1}-a_n=0\)
L'equazione caratteristica è:
\( \lambda^4-2\lambda^3+2\lambda-1=0\), \( (\lambda-1)^3(\lambda+1)=0\)
le radici sono \( \lambda=1\) tripla e \( \lambda=1\) semplice, quindi la soluzione generale dell'equazione omogenea è:
\( a_n=\alpha+\beta n+\gamma n^2+\delta (-1)^n\)
Una soluzione particolare dell'equazione completa è :\( 2^n\) quindi l'equazione generale dell'equazione completa è:
\( a_n=\alpha+\beta n+\gamma n^2+\delta (-1)^n+2^n\)
Imponendo le condizioni iniziali abbiamo:

\(
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\alpha+\delta=0\\
\alpha+\beta+\gamma-\delta=0\\
\alpha+2\beta+4\gamma+\delta=0\\
\alpha+3\beta+9\gamma-\delta=-8\\
\end{array}\end{cases}
\)

\( \alpha=-1, \beta=4, \gamma =-2, \delta=1\)

\( a_n=-1+4n-2n^2+(-1)^n+2^n\) salvo errori di calcolo!