Equazione di punto fisso con due parametri
Devo considerare questa equazione di punto fisso:
$tanh(ax+b)=x$
dove $x$ varia in $[-1,1]$ e $a,b$ sono costanti reali $>=0$.
Sarebbe molto comodo se potessi risolverla esattamente, ma non credo sia possibile.
C'è un modo per sapere almeno quante soluzioni ha, al variare di $a,b$?
Se $a<=1, b=0$, $tanh(ax)$ è una contrazione, perciò ha uno e un solo punto fisso (teorema di Banach), che è $0$.
Ma se $a>1$? Graficamente si vede che ci sono tre punti fissi, ma come posso dimostrarlo?
E se $b!=0$?
$tanh(ax+b)=x$
dove $x$ varia in $[-1,1]$ e $a,b$ sono costanti reali $>=0$.
Sarebbe molto comodo se potessi risolverla esattamente, ma non credo sia possibile.
C'è un modo per sapere almeno quante soluzioni ha, al variare di $a,b$?
Se $a<=1, b=0$, $tanh(ax)$ è una contrazione, perciò ha uno e un solo punto fisso (teorema di Banach), che è $0$.
Ma se $a>1$? Graficamente si vede che ci sono tre punti fissi, ma come posso dimostrarlo?
E se $b!=0$?
Risposte
Non mi pare sia semplice la discussione, o almeno ci sono tanti casi da trattare. Secondo me però è meglio che la metti nella forma $ax+b=tanh^{-1}x$, che mi sembra graficamente un problema più facile da trattare.
Ok, apro un altro post dove descrivo meglio il problema a cui sto lavorando
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