Equazione di numeri complessi

[Mr.Mazzarr]

Avrei bisogno di un input per iniziare questo esercizio sui numeri complessi:

$(z-3)^3 = -i$

Come potrei ragionare per partire?

[amivaleo]

applica la radice cubica ad ambo i membri.
a destra otterrai \(\sqrt[3]{-i}\)
ora ti consiglio di scrivere $-i$ in forma euleriana, ricordando che $e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2k \pi)}$.
poi fai la radice e... beh, hai risolto insomma

[21zuclo]

oppure potresti iniziare a porre $\omega= z-3$

così avrai $\omega^3=-i$

e da qui ti ricavi le 3 radici di $-i$ e poi i risultati li a sostituire qui $z-3=\omega$

e hai risolto

[amivaleo]

che è lo stesso identico procedimento ^^

[Mr.Mazzarr]

Utilizzerò il procedimento di zuclo dato che dei numeri complessi abbiamo fatto ben poco e la prof non ha mai parlato di forma euleriana. Genericamente, quando lavoro con equazioni in campo complesso con il termine $z$ all'interno, mi conviene sempre applicare una sostituzione con l'$omega$ così da lavorare con una radice ( ad esempio ) che è più pratica. No?

P.s.
Ditemi se è esatto questo procedimento, per favore:

$z^6 + 8 = 0$ -> $(z^2)^3 + 2^3 = 0$
$(z^2 + 2)*(z^4 - 2z^2 + 4) =0$
$(z^2 + 2) -> z = pm i*sqrt(2)$
$(z^4 - 2z^2 + 4) -> z = pm sqrt(1 pm i*sqrt(3))$

Quindi $z$ può assumere 6 valori.

[amivaleo]

ho detto che il procedimento è lo stesso perchè scrivere $z^3$ o $(z-3)^3$ o qualsiasi altro oggetto alla terza al primo membro, non cambia il lavoro che devi fare al secondo membro.
il punto infatti è che devi applicare la radice cubica al termine di destra e questo deve restituirti tre numeri diversi. zuclo non ti ha indicato come ricavare questi tre numeri. io ti ho indicato un modo per farlo senza ricordarsi la formuletta a memoria.

[Mr.Mazzarr]

"Ziel van brand":ho detto che il procedimento è lo stesso perchè scrivere $z^3$ o $(z-3)^3$ o qualsiasi altro oggetto alla terza al primo membro, non cambia il lavoro che devi fare al secondo membro.
il punto infatti è che devi applicare la radice cubica al termine di destra e questo deve restituirti tre numeri diversi. zuclo non ti ha indicato come ricavare questi tre numeri. io ti ho indicato un modo per farlo senza ricordarsi la formuletta a memoria.

Trovare quindi le radici terze del numero $-i$. Considerando che $rho = 1$ e $costheta = 0$, i risultati dovrebbero essere:

$omega_1 = 1$
$omega_2 = 1*(cos(2/3 pi) + i sen (2/3 pi))$
$omega_3 = 1*(cos(4/3 pi) + i sen (4/3 pi))$

No?